Question

我一直在研究.NET反汇编和GCC源代码，但似乎无法找到sin()和其他数学函数的实际实现...它们似乎总是引用其他东西

任何人都可以帮我找到它们吗？我觉得C运行的所有硬件都不太可能支持硬件中的触发功能，所以必须有一个软件算法某处，对吗？

我知道函数可以计算的几种方法，并编写了我自己的例程来使用泰勒系列来计算函数。我很好奇生产语言的真实性，因为我的所有实现总是慢几个数量级，即使我认为我的算法非常聪明（显然它们不是）。

Answer 1

在GNU libm中，sin的实现依赖于系统。因此，您可以在sysdeps的相应子目录中的某个位置找到每个平台的实现。

一个目录包含由C提供的C实现。自2011年10月以来，这是在典型的x86-64 Linux系统上调用sin()时实际运行的代码。它显然比fsin汇编指令快。源代码：sysdeps/ieee754/dbl-64/s_sin.c，查找__sin (double x)。

这段代码非常复杂。没有一种软件算法尽可能快，并且在整个 x 值范围内也是准确的，因此该库实现了许多不同的算法，其首要任务是查看 x 并决定使用哪种算法。在某些地区，它使用的是看似熟悉的泰勒系列。有些算法首先计算快速结果，然后如果不够准确，则丢弃它并回退到较慢的算法上。

较旧的32位版本的GCC / glibc使用了fsin指令，这对于某些输入而言令人惊讶地不准确。有fascinating blog post illustrating this with just 2 lines of code。

fdlibm在纯C中实现sin比glibc简单得多，并且很好地评论了。源代码：fdlibm/s_sin.c和fdlibm/k_sin.c

Answer 2

好孩子们，专业人士的时间...... 对于没有经验的软件工程师来说，这是我最大的抱怨之一。他们从头开始计算超越函数（使用泰勒系列），好像在他们的生活中没有人曾经做过这些计算。不对。这是一个定义明确的问题，非常聪明的软件和硬件工程师已经接触过数千次，并且有一个定义明确的解决方案。基本上，大多数超越函数使用切比雪夫多项式来计算它们。至于使用哪种多项式取决于具体情况。首先，关于这件事的圣经是哈特和切尼的一本名为“计算机近似”的书。在该书中，您可以决定是否有硬件加法器，乘法器，除法器等，并确定哪些操作最快。例如如果你有一个非常快的分频器，计算正弦的最快方法可能是P1（x）/ P2（x），其中P1，P2是切比雪夫多项式。没有快速分频器，它可能只是P（x），其中P具有比P1或P2更多的项......所以它会更慢。因此，第一步是确定您的硬件及其功能。然后选择Chebyshev多项式的适当组合（例如，对于余弦通常具有cos（ax）= aP（x）的形式，其中P是Chebyshev多项式）。然后你决定你想要的小数精度。例如如果你想要7位精度，你可以在我提到的书中的相应表中查找，它会给你（对于精度= 7.33）一个数N = 4和一个多项式数3502. N是多项式的阶数（因此它是p4.x ^ 4 + p3.x ^ 3 + p2.x ^ 2 + p1.x + p0），因为N = 4。然后在3502下查看本书后面的p4，p3，p2，p1，p0值的实际值（它们将处于浮点状态）。然后，您可以使用以下格式在软件中实现算法：（（（p4.x + p3）.x + p2）。x + p1）.x + p0 ....这就是你如何计算该硬件上7位小数的余弦。

请注意，FPU中的超越操作的大多数硬件实现通常涉及一些微代码和这样的操作（取决于硬件）。切比雪夫多项式用于大多数超越，但不是全部。例如使用查找表首先使用牛顿raphson方法的双重迭代，平方根更快。同样，那本书“计算机近似”会告诉你。

如果您计划对这些功能进行推理，我建议任何人都能获得该书的副本。它确实是这类算法的圣经。请注意，有许多替代方法可用于计算这些值，如cordics等，但这些方法往往最适合您只需要低精度的特定算法。为了保证每次精度，切比雪夫多项式是最佳选择。就像我说的，明确的问题。已经解决了50年了.....那就是它如何完成。

现在，正如所说的，有些技术可以使用切比雪夫多项式来获得具有低次多项式的单精度结果（如上面的余弦的例子）。然后，还有其他技术可以在值之间进行插值以提高精度，而无需使用更大的多项式，例如“Gal的精确表格方法”。后一种技术是指ACM文献所指的内容。但最终，Chebyshev多项式是90％的方式。

享受。

Answer 3

正弦和余弦等函数在微处理器内部的微码中实现。例如，英特尔芯片有这些的组装说明。 C编译器将生成调用这些汇编指令的代码。（相比之下，Java编译器不会.Java评估软件中的trig函数而不是硬件，因此运行速度要慢得多。）

芯片不使用泰勒系列计算三角函数，至少不完全。首先，他们使用CORDIC，但他们也可能使用短的泰勒级数来完善CORDIC的结果，或者用于特殊情况，例如计算正弦，对于非常小的角度具有高相对精度。有关详细说明，请参阅此StackOverflow answer。

Answer 4

对于sin具体来说，使用泰勒展开会给你：

sin（x）：= x - x ^ 3/3！ + x ^ 5/5！ - x ^ 7/7！ + ...（1）

您将继续添加术语，直到它们之间的差异低于可接受的容差级别或仅仅为有限的步骤（更快但不太精确）。一个例子是：

float sin(float x)
{
  float res=0, pow=x, fact=1;
  for(int i=0; i<5; ++i)
  {
    res+=pow/fact;
    pow*=-1*x*x;
    fact*=(2*(i+1))*(2*(i+1)+1);
  }

  return res;
}

注意：（1）因为aproximation sin（x）= x小角度而起作用。对于更大的角度，您需要计算越来越多的术语以获得可接受的结果。您可以使用while参数并继续以获得一定的准确度：

double sin (double x){
    int i = 1;
    double cur = x;
    double acc = 1;
    double fact= 1;
    double pow = x;
    while (fabs(acc) > .00000001 &&   i < 100){
        fact *= ((2*i)*(2*i+1));
        pow *= -1 * x*x; 
        acc =  pow / fact;
        cur += acc;
        i++;
    }
    return cur;

}

Answer 5

是的，还有用于计算sin的软件算法。基本上，使用数字计算机计算这类东西通常是使用numerical methods来完成的，就像近似表示函数的Taylor series一样。

数值方法可以将函数逼近任意精度，因为浮点数的精度是有限的，它们很适合这些任务。

Answer 6

这是一个复杂的问题。 x86系列的类似英特尔的CPU具有sin()功能的硬件实现，但它是x87 FPU的一部分，在64位模式下不再使用（其中使用SSE2寄存器）。在该模式下，使用软件实现。

有几个这样的实现。一个在fdlibm中，用于Java。据我所知，glibc实现包含部分fdlibm，以及IBM提供的其他部分。

sin()等超越函数的软件实现通常使用多项式的近似，通常从泰勒级数中获得。

Answer 7

使用Taylor series并尝试查找系列中术语之间的关系，这样就不会一次又一次地计算内容

以下是cosinus的一个例子：

double cosinus(double x, double prec)
{
    double t, s ;
    int p;
    p = 0;
    s = 1.0;
    t = 1.0;
    while(fabs(t/s) > prec)
    {
        p++;
        t = (-t * x * x) / ((2 * p - 1) * (2 * p));
        s += t;
    }
    return s;
}

使用这个我们可以使用已经使用过的一个得到总和的新项（我们避免使用阶乘和x ^2p）

Answer 8

另一个答案中提到的切比雪夫多项式是多项式，其中函数和多项式之间的最大差异尽可能小。这是一个很好的开始。

在某些情况下，最大误差不是您感兴趣的，而是最大相对误差。例如，对于正弦函数，x = 0附近的误差应该比较大的值小得多;你想要一个小的相对错误。因此，您将计算sin x / x的Chebyshev多项式，并将该多项式乘以x。

接下来，您必须弄清楚如何评估多项式。您希望以中间值较小的方式对其进行评估，因此舍入误差很小。否则，舍入误差可能比多项式中的误差大得多。并且使用正弦函数之类的函数，如果你粗心大意，那么你为sin x计算的结果可能大于sin y的结果，即使x＆lt;年。因此需要仔细选择计算顺序和计算舍入误差的上限。

例如，sin x = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 ...如果你计算天真sin x = x *（1 - x ^ 2/6 + x ^ 4/120 - x ^ 6/5040 ...），那么括号中的函数正在减少，并且将发生，如果y是x的下一个更大的数字，那么有时sin y将小于sin x。相反，计算sin x = x - x ^ 3 *（1/6 - x ^ 2/120 + x ^ 4/5040 ......），这是不可能的。

例如，在计算切比雪夫多项式时，通常需要将系数舍入为双精度。但是，当切比雪夫多项式是最优的时，具有舍入到双精度的系数的切比雪夫多项式不是具有双精度系数的最优多项式！

例如对于sin（x），您需要x，x ^ 3，x ^ 5，x ^ 7等系数，您可以执行以下操作：使用多项式（ax + bx）计算sin x的最佳近似值^ 3 + cx ^ 5 + dx ^ 7）高于双精度，然后将a舍入到双精度，给出A. a和A之间的差异将非常大。现在用多项式（b x ^ 3 + cx ^ 5 + dx ^ 7）计算（sin x-Ax）的最佳近似值。你得到不同的系数，因为它们适应a和A之间的差异。圆b到双精度B.然后用多项式cx ^ 5 + dx ^ 7近似（sin x - Ax - Bx ^ 3），依此类推。你将得到一个几乎与原始Chebyshev多项式一样好的多项式，但比Chebyshev更好地舍入到双精度。

接下来，您应该考虑多项式选择中的舍入误差。您在多项式中找到了一个忽略舍入误差的最小误差的多项式，但是您希望优化多项式加舍入误差。一旦有了Chebyshev多项式，就可以计算出舍入误差的界限。假设f（x）是你的函数，P（x）是多项式，E（x）是舍入误差。你不想优化| f（x） - P（x）|，你想优化| f（x） - P（x）+/- E（x）|。您将获得稍微不同的多项式，该多项式试图在舍入误差较大的地方保持多项式误差，并且在舍入误差较小的情况下放松多项式误差。

所有这些都可以让你轻松舍入最后一位最多0.55倍的错误，其中+， - ，*，/的舍入误差最多为最后一位的0.50倍。

Answer 9

关于像sin()，cos()，tan()这样的三角函数，5年之后，没有提到高质量触发函数的一个重要方面：范围缩小< /强>

任何这些函数的早期步骤是以弧度将角度减小到2 *π区间的范围。但是π是不合理的，因此像x = remainder(x, 2*M_PI)这样的简单缩减会引入误差M_PI，或机器pi，是π的近似值。那么，如何做x = remainder(x, 2*π)？

早期的图书馆使用扩展精度或精心编程来提供高质量的结果，但仍然在double的有限范围内。如果请求的值较大sin(pow(2,30))，则结果毫无意义或0.0，并且可能error flag设置为TLOSS完全丢失精度或{{1}部分精度损失。

将大值减小到像-π到π这样的区间是一个具有挑战性的问题，可以与基本的三角函数相媲美，如PLOSS本身。

一份好的报告是Argument reduction for huge arguments: Good to the last bit （1992）。它很好地解决了这个问题：讨论了各种平台（SPARC，PC，HP，30+其他平台）的需求和方式，并提供了一种解决方案算法，为所有 sin()提供了高质量的结果从double到-DBL_MAX。

如果原始参数以度为单位，但可能值很大，请先使用DBL_MAX以提高精度。好的fmod()会引入no error，因此可以提供出色的范围缩减。

fmod()

各种触发身份和// sin(degrees2radians(x)) sin(degrees2radians(fmod(x, 360.0))); // -360.0 <= fmod(x,360) <= +360.0提供了更多改进。示例：sind()

Answer 10

库函数的实际实现取决于特定的编译器和/或库提供程序。无论是硬件还是软件，是否是泰勒扩展等，都会有所不同。

我意识到这绝对没有帮助。

Answer 11

它们通常以软件实现，在大多数情况下不会使用相应的硬件（即aseembly）调用。但是，正如Jason指出的那样，这些都是特定于实现的。

请注意，这些软件例程不是编译器源代码的一部分，而是可以在对应的库中找到，例如clib，或GNU编译器的glibc。见http://www.gnu.org/software/libc/manual/html_mono/libc.html#Trig-Functions

如果您想要更好的控制，您应该仔细评估您的需求。一些典型的方法是查找表的插值，汇编调用（通常很慢），或其他近似方案，如平方根的Newton-Raphson。

Answer 12

没有什么能像点击源，看到有人在常用的库中实际完成它了;让我们看一下特别是一个C库实现。我选择了uLibC。

这是sin函数：

http://git.uclibc.org/uClibc/tree/libm/s_sin.c

看起来它会处理一些特殊情况，然后执行一些参数减少以将输入映射到范围[-pi / 4，pi / 4]，（将参数分成两部分，一个很大的部分和在致电

之前

http://git.uclibc.org/uClibc/tree/libm/k_sin.c

然后对这两部分进行操作。如果没有尾部，则使用度数为13的多项式生成近似答案。如果有尾部，则会根据sin(x+y) = sin(x) + sin'(x')y

的原则获得一个小的修正补充

Answer 13

正如许多人所指出的那样，它依赖于实现。但据我了解你的问题，你对一个真正的软件数学函数的实现感兴趣，但只是没有设法找到它。如果是这种情况，那么你就是：

从http://ftp.gnu.org/gnu/glibc/
查看位于解压后的glibc root \ sysdeps \ ieee754 \ dbl-64文件夹中的文件dosincos.c
同样，您可以找到数学库其余部分的实现，只需查找具有适当名称的文件

您还可以查看具有.tbl扩展名的文件，它们的内容只不过是二进制形式的不同函数的预计算值的巨大表格。这就是为什么实现如此之快：不是计算他们使用的任何系列的所有系数，而是快速查找，更快。顺便说一句，他们确实使用Tailor系列来计算正弦和余弦。

我希望这会有所帮助。

Answer 14

如果你想在软件而不是硬件中实现，那么寻找这个问题的明确答案的地方是Numerical Recipes的第5章。我的副本放在一个盒子里，所以我不能提供详细信息，但是短版本（如果我还记得这个）是你将tan(theta/2)作为原始操作并从那里计算其他的。计算是通过一系列近似来完成的，但它比泰勒级数更快地收敛很多。

对不起，如果不把手放在书上，我就无法记住更多。

Answer 15

我将尝试在C程序中回答sin()的情况，在当前的x86处理器上使用GCC的C编译器编译（假设是Intel Core 2 Duo）。

在C语言中，标准C库包含常见的数学函数，不包括在语言本身中（例如分别为pow，sin和cos的幂，正弦和余弦）。其标题包含在math.h。

中

现在在GNU / Linux系统上，这些库函数由glibc（GNU libc或GNU C Library）提供。但是GCC编译器希望您使用libm.so编译器标志链接到math library（-lm）以启用这些数学函数的使用。 ~~我不确定为什么它不是标准C库的一部分。~~这些是浮点函数的软件版本，或“软浮点”。

旁白：将数学函数分开的原因是历史性的，仅仅是为了减少非常旧Unix系统中可执行程序的大小，可能在共享之前据我所知，图书馆已经可以使用。

现在，编译器可以优化标准C库函数sin()（由libm.so提供），以替换为对CPU / FPU的内置sin（）函数的本机指令的调用，它作为FPU指令（x86 / x87的FSIN）存在于较新的处理器（如Core 2系列）上（这与i486DX相当正确）。这将取决于传递给gcc编译器的优化标志。如果编译器被告知编写可在任何i386或更新的处理器上执行的代码，则不会进行这样的优化。 -mcpu=486标志将通知编译器进行这样的优化是安全的。

现在如果程序执行sin（）函数的软件版本，它将基于CORDIC（坐标旋转数据计算机）或BKM algorithm或更多可能是表格或幂级数计算，现在通常用于计算这种超越函数。 [Src：http://en.wikipedia.org/wiki/Cordic#Application]

任何最近的（自2.9x左右）版本的gcc也提供了一个内置版本的sin __builtin_sin()，它将用于替换对C库版本的标准调用，作为优化。

我确信这一点与泥浆一样清晰，但希望能为您提供比您预期更多的信息，还有许多跳跃点可以让您自己了解更多信息。

Answer 16

每当评估这样的函数时，在某种程度上很可能是：

内插的值表（对于快速，不准确的应用程序 - 例如计算机图形）
对一系列收敛到期望值的评估---可能不一个泰勒系列，更可能是基于像Clenshaw-Curtis这样花哨的正交的东西。

如果没有硬件支持，那么编译器可能会使用后一种方法，只发出汇编程序代码（没有调试符号），而不是使用交流库 - 这使得您在跟踪实际代码时很难调试器。

Answer 17

如果你想查看C语言中这些函数的实际GNU实现，请查看最新的glibc主干。请参阅GNU C Library。

Answer 18

不要使用泰勒系列。正如上面几个人所指出的那样，切比雪夫多项式更快更准确。这是一个实现（最初来自ZX Spectrum ROM）：https://albertveli.wordpress.com/2015/01/10/zx-sine/

Answer 19

通过使用泰勒级数的代码，计算正弦/余弦/正切实际上非常容易。自己写一个就需要5秒钟。

整个过程可以用这个等式总结：

以下是我为C写的一些例程：

double _pow(double a, double b) {
    double c = 1;
    for (int i=0; i<b; i++)
        c *= a;
    return c;
}

double _fact(double x) {
    double ret = 1;
    for (int i=1; i<=x; i++) 
        ret *= i;
    return ret;
}

double _sin(double x) {
    double y = x;
    double s = -1;
    for (int i=3; i<=100; i+=2) {
        y+=s*(_pow(x,i)/_fact(i));
        s *= -1;
    }  
    return y;
}
double _cos(double x) {
    double y = 1;
    double s = -1;
    for (int i=2; i<=100; i+=2) {
        y+=s*(_pow(x,i)/_fact(i));
        s *= -1;
    }  
    return y;
}
double _tan(double x) {
     return (_sin(x)/_cos(x));  
}

Answer 20

Blindy的答案的改进版代码

#define EPSILON .0000000000001
// this is smallest effective threshold, at least on my OS (WSL ubuntu 18)
// possibly because factorial part turns 0 at some point
// and it happens faster then series element turns 0;
// validation was made against sin() from <math.h>
double ft_sin(double x)
{
    int k = 2;
    double r = x;
    double acc = 1;
    double den = 1;
    double num = x;

//  precision drops rapidly when x is not close to 0
//  so move x to 0 as close as possible
    while (x > PI)
        x -= PI;
    while (x < -PI)
        x += PI;
    if (x > PI / 2)
        return (ft_sin(PI - x));
    if (x < -PI / 2)
        return (ft_sin(-PI - x));
//  not using fabs for performance reasons
    while (acc > EPSILON || acc < -EPSILON)
    {
        num *= -x * x;
        den *= k * (k + 1);
        acc = num / den;
        r += acc;
        k += 2;
    }
    return (r);
}

Answer 21

如果你想要sin那么

 __asm__ __volatile__("fsin" : "=t"(vsin) : "0"(xrads));

如果你想要cos那么

 __asm__ __volatile__("fcos" : "=t"(vcos) : "0"(xrads));

如果你想要sqrt那么

 __asm__ __volatile__("fsqrt" : "=t"(vsqrt) : "0"(value));

那么为什么在机器指令执行时会使用不准确的代码呢？

Answer 22

其实现方式的精髓在于Gerald Wheatley的应用数值分析摘录：

当您的软件程序要求计算机获取值时，或，您是否想知道它如何获得值，如果它可以计算的最强大的函数是多项式？它不会在表中查找这些内容并进行内插！而是计算机从多项式近似多项式以外的所有函数量身定制的多项式，可以非常精确地给出值。

上面要提到的几点是，某些算法实际上是从表进行插值的，尽管仅适用于前几次迭代。还要注意它是如何提及计算机使用近似多项式而不指定哪种类型的近似多项式的。正如线程中的其他人指出的那样，在这种情况下，切比雪夫多项式比泰勒多项式更有效。

C如何计算sin（）和其他数学函数？

22 个答案: