Question

是否有一个很好的鲁棒算法来计算凸多边形的法向量（当然是3D）？对于三角形，很容易：一个取三角形的两个边并计算叉积：

vec3 u = point[0] - point[1], v = point[0] - point[2];
vec3 n = normalize(cross(u, v));

但是这种方法并没有真正扩展到多边形。多边形的某些边缘可能几乎或“完全”共线（这通常发生在发生T形连接的网格中），因此有必要选择一对边，给出“强”法线（两条边都是“足够长”并且它们保持“几乎垂直”的角度。）

但是，这种方法仍然不适用于所有多边形。想象一下圆盘形状的多边形。如果细分非常精细，则无论光盘的半径如何，所有边缘都将非常短并且所有连续边缘将几乎共线。与此同时，正常情况也很明确。

一种解决方案可能是找到最大的内切三角形并计算其正常值。但是，找到它会有O(n^2)的复杂性，这似乎太高了。

更好的解决方案是使用SVD或特征值分解来计算法线，给定所有多边形点，而不仅仅是三个或四个。

这是否有标准算法？任何人都有一个很好的方法吗？

Answer 1

如果您将三角形的公式分解，您将得到以下内容：

n ~ (p1 - p0) x (p2 - p0)
  = p0 x p1 + p1 x p2 + p2 x p0

您可以针对任意多边形推广此公式：

n ~ p0 x p1 + p1 x p2 + ... + pn x p0

总结连续边的叉积。这是一种强大的算法，适用于非平面多边形。

如果您可以确定多边形是平面的，我会执行以下操作（以节省计算时间）：

Repeat k times
    Pick 3 random polygon vertices
    Calculate the normal of the according triangle
Choose the longest normal as the polygon's normal.

您可以放弃具有length <= epsilon的任何法线。

Answer 2

您可以计算多边形所有点的协方差矩阵（这将是3D空间的3x3矩阵）。多边形的法线将是对应于最小特征值的特征向量。

Answer 3

从任意顶点开始（将其称为顶点A），然后移动到列表中的下一个顶点（称为顶点B）。计算与AB向量垂直的向量（称为向量P）。然后继续在顶点列表中进行迭代，以找到与向量AB垂直最远的顶点。因此，在每次迭代中，将当前元素的点积（以顶点B为原点）与向量P相乘，并选择幅度最大的结果（取绝对值），然后将其称为C.计算ABC向量。

如果多边形是凸的，则可以停止迭代，直到垂直距离开始变小。

我想到了这个主意，我不知道这种方法的效率，因为我不知道要与之比较的其他算法。

稳健的多边形法线计算

3 个答案: