Question

我有一个大的右边随机矩阵（行总和为1）.size~20000x20000。我怎样才能找到它的静止分布？

我试图计算特征值和向量，并得到复杂的特征值，例如1 + 0i（多于一个）。

尝试使用以下方法：

pi=u[I-P+U]^-1

当我使用solve()进行反转时，收到错误消息Error in solve.default(A):system is computationally singular: reciprocal condition number = 3.16663e-19

据我所知，Perron-Frobenius定理确保每个随机矩阵作为一个固定概率向量pi，即特征值的最大绝对值始终为1，所以pi = piP，并且我的矩阵具有所有正条目，我能得到一个unq pi，我是对的吗？或者，如果有任何方法，我可以计算行向量pi？

Answer 1

每个随机矩阵确实具有静态分布。由于P的所有行总和= 1，（P-1）具有行和= 0 =＆gt; （P-I）*（1，....，1）总是给你零。因此秩（P-I）<= n-1，因此是转置到P-I的等级。因此，存在q使得（t（P）-I）* q = 0 =＆gt; t（P）q = q。
复杂值1 + 0i似乎对我来说非常真实。但是如果你只得到复数值，即在i不为0之前的系数，那么算法会在某处产生错误 - 它以数字方式解决问题，而不是一直都是真的。此外，它产生多少特征值和向量并不重要，重要的是它找到了特征值1的正确特征向量，这就是你需要的东西。
确保您的固定分布确实是您的限制分布，否则计算它是没有意义的。您可以尝试通过将不同的向量乘以矩阵^ 1000来找出它，但我不知道在您的情况下将花费多少时间。
最后但并非最不重要的，这是一个例子：

# first we need a function that calculates matrix^n
mpot = function (A, p) {
  # calculates A^p (matrix multiplied p times with itself)
  # inputes: A - real-valued square matrix, p - natural number.  
  # output:  A^p

  B = A
  if (p>1) 
    for (i in 2:p) 
      B = B%*%A 
  return (B)
}


# example matrix
P = matrix( nrow = 3, ncol = 3, byrow = T, 
            data = c(
              0.1, 0.9, 0,   
              0.4, 0,   0.6,
              0,   1,   0
            )
)


# this converges to stationary distribution independent of start distribution
t(mpot(P,1000)) %*% c(1/3, 1/3, 1/3)
t(mpot(P,1000)) %*% c(1, 0, 0)

# is it stationary? 
xx = t(mpot(P,1000)) %*% c(1, 0, 0)
t(P) %*% xx

# find stationary distribution using eigenvalues
eigen(t(P)) # here it is!
eigen_vect = eigen(t(P))$vectors[,1]
stat_dist = eigen_vect/sum(eigen_vect) # as there is subspace of them, 
                                       # but we need the one with sum = 1
stat_dist

随机矩阵平稳分布

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