Question

Stack Overflow上有两个与此问题相关的线程：

How can I obtain stationary distribution of a Markov Chain given a transition probability matrix描述了转移概率矩阵是什么，并通过获取此矩阵的幂来演示如何达到平稳分布;
How to find when a matrix converges with a loop使用R循环来确定矩阵功率何时收敛。

以上是直截了当的，但非常昂贵。如果我们有一个订单n的转换矩阵，那么在每次迭代时我们都会计算成本O(n ^ 3)的矩阵 - 矩阵乘法。

有更有效的方法吗？我发生的一件事是使用特征分解。已知马尔可夫矩阵：

可在复杂域中对角化：A = E * D * E^{-1};
的实际特征值为1，其他（复杂）特征值的长度小于1。

静态分布是与特征值1相关联的特征向量，即第一特征向量。

嗯，这个理论很好，但是我无法理解它。在第一个链接问题中取矩阵P：

P <- structure(c(0, 0.1, 0, 0, 0, 0, 0, 0.1, 0.2, 0, 0, 0, 0, 0, 0.2, 
0.3, 0, 0, 0.5, 0.4, 0.3, 0.5, 0.4, 0, 0, 0, 0, 0, 0.6, 0.4, 
0.5, 0.4, 0.3, 0.2, 0, 0.6), .Dim = c(6L, 6L))

如果我这样做：

Re(eigen(P)$vectors[, 1])
# [1] 0.4082483 0.4082483 0.4082483 0.4082483 0.4082483 0.4082483

发生了什么事？根据以前的问题，固定分布是：

# [1] 0.002590673 0.025906737 0.116580322 0.310880848 0.272020713 0.272020708

Answer 1

好吧，要使用Eigen分解，我们需要使用t(P)。

转移概率矩阵的定义在概率/统计和线性代数之间不同。在统计信息中，P的所有行总和为1，而在线性代数中，P的所有列总和为1.因此，我们需要eigen(P)代替eigen(t(P))：

e <- Re(eigen(t(P))$vectors[, 1])
e / sum(e)
# [1] 0.002590673 0.025906737 0.116580322 0.310880848 0.272020713 0.272020708

我们可以看到，我们只使用了第一个特征向量，即最大特征值的特征向量。因此，不需要使用eigen计算所有特征值/向量。 power method可用于找到最大特征值的特征向量。让我们在R：

中实现这一点

stydis1 <- function (A) {
  n <- dim(A)[1L]
  ## checking
  if (any(.rowSums(A, n, n) != 1)) 
    stop (" 'A' is not a Markov matrix")
  ## implement power method
  e <- runif (n)
  oldnorm <- sqrt(c(crossprod(e)))
  repeat {
    e <- crossprod(A, e)
    newnorm <- sqrt(c(crossprod(e)))
    if (abs(newnorm / oldnorm - 1) < 1e-8) break
    e <- e / newnorm
    oldnorm <- newnorm
    }
  ## rescale `e` so that it sums up to 1
  c(e / sum(e))
  }

stydis1 (P)
# [1] 0.002590673 0.025906737 0.116580322 0.310880848 0.272020713 0.272020708

结果是正确的。

实际上，我们不必利用特征分解。我们可以调整您的第二个链接问题中使用的方法。在那里，我们采用矩阵电源，这是昂贵的，你评论;但为什么不把它重新投入矩阵向量乘法？

stydis2 <- function (A) {
  n <- dim(A)[1L]
  ## checking
  if (any(.rowSums(A, n, n) != 1)) 
    stop (" 'A' is not a Markov matrix")
  ## direct computation
  b <- A[1, ]
  oldnorm <- sqrt(c(crossprod(b)))
  repeat {
    b <- crossprod(A, b)
    newnorm <- sqrt(c(crossprod(b)))
    if (abs(newnorm / oldnorm - 1) < 1e-8) break
    oldnorm <- newnorm
    }
  ## return stationary distribution
  c(b)
  }

stydis2 (P)
# [1] 0.002590673 0.025906737 0.116580322 0.310880848 0.272020713 0.272020708

我们从任意初始分布开始，比如A[1, ]，并迭代地应用转换矩阵，直到分布收敛。再次，结果是正确的。

Answer 2

您的向量y = Re(eigen(P)$vectors[, 1])不是分布（因为它不能加起来）并且解决P'y = y，而不是x'P = x。您链接的Q＆amp; A的解决方案大致解决了后者：

x = c(0.00259067357512953, 0.0259067357512953, 0.116580310880829, 
0.310880829015544, 0.272020725388601, 0.272020725388601)
all(abs(x %*% P - x) < 1e-10) # TRUE

通过转置P，您可以使用特征值方法：

x2 = Re(eigen(t(P))$vectors[, 1])
x2 <- x2/sum(x2) 
(function(x) all(abs(x %*% P - x) < 1e-10))(
  x2
) # TRUE

但是，在这种情况下，它找到了一个不同的静止向量。

Answer 3

根据平稳概率矢量的定义，它是具有单位特征值的转移概率矩阵的左特征矢量。我们可以通过计算矩阵的特征分解，识别单位特征值，然后为这些单位特征值中的每个特征值计算固定概率矢量，从而找到此类对象。这是R中的一个函数。

stationary <- function(P) {
  
  #Get matrix information
  K     <- nrow(P)
  NAMES <- rownames(P)
  
  #Compute the eigendecomposition
  EIGEN <- eigen(P)
  VALS  <- EIGEN$values
  RVECS <- EIGEN$vectors
  LVECS <- solve(VECS)
  
  #Find the unit eigenvalue(s)
  RES <- zapsmall(Mod(VALS - as.complex(rep(1, K))))
  IND <- which(RES == 0)
  N   <- length(IND)
  
  #Find the stationary vector(s)
  OUT <- matrix(0, nrow = N, ncol = K)
  rownames(OUT) <- sprintf('Stationary[%s]', 1:N)
  colnames(OUT) <- NAMES
  for (i in 1:length(IND)) { 
    SSS     <- Re(eigen(t(P))$vectors[, IND[i]])
    OUT[i,] <- SSS/sum(SSS) }
  
  #Give the output
  OUT }

（注意：使用eigen计算的本征分解会遇到一些数字误差，因此不存在完全等于1的本征值。因此，我们zapsmall只要不存在小于1的真实特征值，但又接近于1的真实特征值，它也将被“转换”为1，这将为我们提供正确的答案。）

在此情况下，将此函数应用于转换概率矩阵可正确识别唯一的固定概率向量。计算中存在少量数值误差，但这在大多数情况下应该可以解决。

#Compute the stationary probability vector
S <- stationary(P)

#Show this vector and confirm stationarity
S
                     [,1]       [,2]      [,3]      [,4]      [,5]      [,6]
Stationary[1] 0.002590674 0.02590674 0.1165803 0.3108808 0.2720207 0.2720207

S %*% P
                     [,1]       [,2]      [,3]      [,4]      [,5]      [,6]
Stationary[1] 0.002590674 0.02590674 0.1165803 0.3108808 0.2720207 0.2720207

#Show error in computation
c(S %*% P - S)
[1]  4.336809e-17  2.775558e-17  1.110223e-16 -2.775558e-16  1.665335e-16 -5.551115e-17

在给定转移概率矩阵

3 个答案: