Question

我试图解决problem# 276 from Project Euler，但到目前为止没有成功。

考虑带整数的三角形 a，b和c侧，a≤b≤c。一个整数边三角形（a，b，c）是如果gcd（a，b，c）= 1，则称为primitive。怎么样许多原始的整数边三角形存在的周长不超过 10 000 000？

我的代码中的瓶颈是GCD函数。我的样本输入几乎占用了90％的执行时间。我很想听听关于如何改进解决方案的提示和评论...我的解决方案是用C语言编写的，但它很简单：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define sides 3
// This is where my program spends most of its time
size_t bi_gcd (size_t a, size_t b);
size_t tri_gcd (size_t a, size_t b, size_t c);
size_t count_primitive_triangles (size_t maximum_perimeter);

int main()
{
 printf( "primitive_triangles = %lu \n",
            count_primitive_triangles(1000) );
}

size_t bi_gcd (size_t a, size_t b)
{
 size_t t;

 while(b != 0)
 {
  t = b;
  b = a % b;
  a = t;
 }

 return a;
}

size_t tri_gcd (size_t a, size_t b, size_t c)
{
 return bi_gcd(a, bi_gcd(b, c));
}

size_t count_primitive_triangles (size_t max_perimeter)
{
 size_t count = 0; // number of primitive triangles
 size_t a, b, c;   // sides of the triangle
 // the following are the bounds of each side
 size_t 
  // because b >= a && c >= b ==> max of a
  // is when a+b+c > 10,000,000
  // b == a (at least)
  // c == b (at least)
  // ==> a+b+c >= 10,000,000
  // ==> 3*a   >= 10,000,000
  // ==> a= 10,000,000/3
  a_limit = max_perimeter/sides,
  b_limit,
  c_limit;

 for (a = 1; a <= a_limit; ++a)
 {
  // because c >= b && a+b+c <= 10,000,000
  // ==> 2*b + a = 10,000,000
  // ==> 2*b = 10,000,000 - a
  // ==> b = (10,000,000 - a)/2
  for (b = a, b_limit = (max_perimeter-a)/2; b <= b_limit; ++b)
  {
   // The triangle inequality:
   // a+b > c (for a triangle to be valid!)
   // ==> c < a+b
   for (c = b, c_limit = a+b; c < c_limit; ++c)
   {
    if (tri_gcd(a, b, c) == 1)
     ++count;
   }
  }
 }

 return count;
}

Answer 1

在优化之前进行性能分析是件好事，但gcd函数中的大量时间并不一定意味着您需要（或可以）使其更快，而不是你是经常叫它。 :-) 这是一个提示 - 一种算法改进，可以将运行时间提高几个数量级，而不仅仅是实现方面的改进。

您目前正在单独计算原始三角形。相反，问问自己：你能否有效地计算所有三角形（不一定是原始的）周长a + b + c = n？（运行时间O（n）会这样做 - 你当前的算法是Ω（n ³）。）完成后，你有哪些三角形过度计算？例如，有多少个三角形用p分开边？（提示：a + b + c = n＆lt; =＆gt;（a / p）+（b / p）+（c / p）= n / p。）和so on。

编辑：在解决问题并检查Project Euler上的线程后，我发现还有其他一些很好的方法可以解决这个问题，但是上面的方法最常见，并且可行。对于第一部分，您可以直接计算（有些人已经完成了;它当然可行），或者您可能发现这个额外的提示/技巧有用：

假设1≤a≤b≤c，a + b + c = n。令p = b + c-a = n-2a，令q = c + a-b = n-2b，并且令r = a + b-c = n-2c。然后1≤r≤q≤p，并且p + q + r = a + b + c = n。此外，p，q，r都具有与n相同的奇偶校验。
相反，对于任何1≤r≤q≤p，p + q + r = n，所有三个具有相同的奇偶校验（n），设a =（q + r）/ 2，设b =（r + p）/ 2，c =（p + q）/ 2。然后1≤a≤b≤c且a + b + c = n。此外，这些是整数并形成三角形（检查）。
所以周长为n的整数三角形（a，b，c）的数量确切地说 n的分区数为相同奇偶校验的部分（p，q，r）。您可能发现这更容易计算。

此外/或者，尝试直接将此数字T（n）与较小的数字T（n-k）相关联，以获得递归关系。

（当然，如果你是Google，你也可以找到一些非常简单的公式，但有什么好玩的呢？）

Answer 2

这些是你可以改进的：

不是在内循环中计算tri_gcd(a,b,c)，而是在第二个循环内计算g1 = gcd(a,b)，在内循环中计算g2 = gcd(g1, c)。
当gcd(a,b)==1时，您可以避免内部循环并将计数增加max_c - min_c + 1，因为您知道对于任何c值，gcd将为1。
你的内循环似乎太高了，因为它没有检查a+b+c <= 10000000。

不幸的是，即使有这些变化以及到目前为止在其他答案中提到的变化，这可能会太慢。我相信真正的解决方案不会枚举所有可能的三角形，但不知何故将它们分组。

Answer 3

暴力解决方案往往非常缓慢：）

提示减少计算：

预先准备好所有素数范围2..10 ⁷并存储他们在查询表中。
在bi_gcd(a, b) 检查a或b是否为素数返回1否则计算他们的gcd。
在tri_gcd(a, b, c)。

编辑：考虑@interjay的评论：

如果例如a是素数，我们仍然需要检查b是a的倍数，像这样(b % a == 0)。在这种情况下，a是gcd。

Answer 4

除了Nick D的回答，当一个或两个输入为素数时，这会阻止你在计算bi_gcd时遇到困难，我发现自己想知道你必须用调用bi_gcd多少次相同的（复合）数字。无论你计算多少次，GCD（12,18）总是为6。我怀疑，存储结果的机制可以改善事情。

Answer 5

作为一项小改进，您可以插入一些特殊情况，例如

size_t bi_gcd (size_t a, size_t b) {
    if (a == 1 || b == 1) return 1;
    ...

size_t tri_gcd (size_t a, size_t b, size_t c) {
    if (a%2==0 && b%2==0 && c%2==0) return 2;
    // of course GCD(a,b,c) can be > 2,
    // but the exact GCD is not needed in this problem.
    ...

使用这两个if - s，我可以将从1.2秒缩短到1.0秒（使用gcc -O3）。

项目欧拉问题＃276 - 原始三角形

5 个答案: