Question

访问矩阵的“第一个”元素

我想写一个关于矩阵行列式的微不足道的证明，其中矩阵只由一个元素组成（即'n的基数为1）。

因此，行列式（或det A）是矩阵中的单个元素。

但是，我不清楚如何引用矩阵的单个元素。我尝试了A $ zero $ zero，但没有效果。

我目前展示问题的方法是写∀a∈(UNIV :: 'n set). det A = A $ a $ a。它假设数字类型的基数是1。

写这个关于决定因素的琐碎证据的正确方法是什么？

这是我目前的代码：

theory Notepad
imports
  Main
  "~~/src/HOL/Library/Polynomial"
  "~~/src/HOL/Algebra/Ring"
  "~~/src/HOL/Library/Numeral_Type"
  "~~/src/HOL/Library/Permutations"
  "~~/src/HOL/Multivariate_Analysis/Determinants"
  "~~/src/HOL/Multivariate_Analysis/L2_Norm"
  "~~/src/HOL/Library/Numeral_Type"
begin


lemma det_one_element_matrix:
fixes A :: "('a::comm_ring_1)^'n∷finite^'n∷finite"
assumes "card(UNIV :: 'n set) = 1"
shows "∀a∈(UNIV :: 'n set). det A = A $ a $ a"
proof-

  (*sledgehammer proof of 1, 2 and ?thesis *)
  have 1: "∀a∈(UNIV :: 'n set). UNIV = {a}"   
  by (metis (full_types) Set.set_insert UNIV_I assms card_1_exists ex_in_conv)

  have 2:
  "det A = (∏i∈UNIV. A $ i $ i)" 
  by (metis (mono_tags, lifting) "1" UNIV_I det_diagonal singletonD)

  from 1 2 show ?thesis by (metis setprod_singleton)

qed

的更新： 的

不幸的是，这是一个较大定理的一部分，已经证明了'n∷finite＆gt;的基数。在这个定理中，矩阵A的类型是固定为A :: "('a::comm_ring_1)^'n∷finite^'n∷finite，并且在这个更大的定理中使用行列式的定义。

因此，我不认为我可以将我的矩阵A的类型更改为('a::comm_ring_1)^1^1)以解决我的更大定理。

Answer 1

使用A $ zero $ zero（或A $ 0 $ 0）不会有效，因为向量是从1索引的：A $ 0 $ 0未定义，这使得很难证明任何事情。

自己玩一点，我想出了以下引理：

lemma det_one_element_matrix:
   "det (A :: ('a::comm_ring_1)^1^1) = A $ 1 $ 1"
  by (clarsimp simp: det_def sign_def)

我没有使用类型'a :: finite并且假设它具有基数1，而是使用标准的Isabelle 1类型，它将这两个事实编码到类型本身中。（所有数字都存在类似的类型，因此您可以编写'a ^ 23 ^ 72）

之类的内容

顺便说一下，在输入上面的引理后，auto solve_direct很快告诉我库中已经存在一些说明相同结果的内容，一个名为det_1的引理。

Answer 2

我觉得我之前的答案是一般情况下更好的解决方案，如果可以使用，所以我会保持原样。在你不能使用这种方法的情况下，遗憾的是事情会变得更加困难。

您需要表明的是：

类型'n中只能有一个元素，因此每个元素都相等;
此外，det的定义也引用了排列，因此我们需要证明只存在'n ⇒ 'n类型的单个函数，它恰好等于函数{{ 1}}。

有了这些，我们可以按如下方式进行证明：

id

在Isabelle中访问矩阵的第一个元素

2 个答案: