此代码的大O时间复杂度

Question

给出以下代码 - ：

  

for(int i = 1; i <= N; i++)
    for(int j = 1; j <= N; j = j+i)
    {
        //Do something
    }

我知道外循环运行N次，内循环运行大约log(N)次。这是因为在i的每次迭代中，j运行ceil(N)，ceil(N/2)，ceil(N/4)次，依此类推。这只是一个粗略的计算，通过它可以猜测时间复杂度肯定是O(N log(N))。

我将如何在数学上证明相同？

我知道，对于ith次迭代，j增加ceil(N/2(i - 1))。

Answer 1

i的每个值的内循环的迭代总数将是

i = 1: j = 1, 2, 3 ..., n ---> total iterations = n
i = 2: j = 1, 3, 5 ..., n ---> total iterations = n/2 if 2 divides n or one less otherwise
i = 3: j = 1, 4, 7 ..., n ---> total iterations = n/3 if 3 divides n or one less otherwise
...
i = m: j = 1, 1 + m, ... , n ---> total iterations ~ n/m
...
1

所以大约总迭代次数为(n + n/2 + n/3 ... + 1)。

该和是Harmonic Series，其值大约为ln(n) + C，因此总迭代大约为n ln(n)，并且由于所有对数都与常量相关，因此迭代将为{{1} }。