测试密度分布的正态性比率

Question

我的分布正常，分布均匀。我想计算一个比率：正态分布的密度，超过均匀密度。然后我想测试这个比率的正常性。

ht <- runif(3000, 1, 18585056)           # Uniform distribution
hm <- rnorm(35, 10000000, 5000000)       # Normal distribution
hmd <- density(hm, from=0, to=18585056)  # Kernel density of distributions over range 
htd <- density(ht, from=0, to=18585056)
ratio <- hmd$y/htd$y                     # Ratio of kernel density values

上面的发布hm和ht是我的实验数据显示的示例;我将实际使用的向量不是在R中随机生成的。

我知道我可以从Q-Q图的相关系数中了解正态性：

qqp <- qqnorm(hm)
cor(qqp$x,qqp$y)

对于正常分布的hm，这会给出接近1的值。

有没有办法确定密度向量的正态性？例如hmd和ratio。

（其他信息：hm和ht正在对长度为18585056的基因组中的纯合和杂合SNP进行建模

Answer 1

首先，这确实是一个统计问题;您应该考虑将其发布在stats.stackexchange.com上 - 您可能会得到更好的答案。

其次，对你的问题的简短回答是“测试两个密度函数的比例以保持正常”并不是一个有意义的想法。如评论中所述，两个密度函数的比率不是密度函数。除此之外，密度函数必须积分为1 over（-Inf，+ Inf），这个比率不会（通常）。

然而，测试两个随机变量的比率的分布是否正常是有意义的。如果您知道分子是正态分布且分母是均匀分布的，那么该比率肯定不正态分布，如下面斜杠分布的讨论中所示。

如果你不知道分子和分母的分布，但只是随机样本，你应该计算随机变量的比率，并测试正态性。在您的情况下（进行少量编辑）：

set.seed(123)
ht <- runif(3000, 1, 18585056)           
hm <- rnorm(3500, 10000000, 5000000)
Z  <- sample(hm,1000)/sample(ht,1000)   # numer. and denom. must be same length
par(mfrow=c(1,2))
# histogram of Z
hist(Z,xlim=c(-5,5), breaks=c(-Inf,seq(-5,5,0.2),Inf),freq=F, ylim=c(0,.4))
# normal Q-Q plot    
qqnorm(Z,ylim=c(-5,5))
qqline(Z,xlim=c(-5,5),lty=2,col="blue")

显然，比率分布不正常。

斜线分发

在特殊情况下

  

X~N [0,1] =φ（x）（ - Inf≤x≤Inf），

     

Y~U [0,1] = 1（0≤x≤1）; 0其他地方

     

Z = X / Y~ [φ（0） - φ（x）] / x ²

即，随机变量形成为两个其他（独立）随机变量的比率，分子分布为N（0,1），分母分布为U（0,1），具有{{3} }，如上所述。我们可以在R代码中显示如下

set.seed(123)
X <- rnorm(10000)
Y <- runif(10000)
Z <- X/Y
dslash <- function(x) (dnorm(0)-dnorm(x))/x^2

x <- seq(-5,5,0.02)
par(mfrow=c(1,2))
hist(Z,xlim=c(-5,5), breaks=c(-Inf,seq(-5,5,0.2),Inf),freq=F, ylim=c(0,.4))
lines(x,dslash(x),xlim=c(-5,5),col="red")
lines(x,dnorm(x),xlim=c(-5,5),col="blue",lty=2)

qqnorm(Z,ylim=c(-5,5))
qqline(Z,xlim=c(-5,5),lty=2,col="blue")

条形代表Z = X / Y的直方图，红色曲线是斜线分布，蓝色曲线是N [0,1]的pdf供参考。因为红色曲线是“钟形的”，所以有一种诱惑，认为Z是正态分布的，只是方差较大。 Q-Q图清楚地表明，不是。斜线分布的尾部远远大于正态分布的预期。