Question

我需要找到n！％1000000009。对于范围为1到20的k，n的类型为2 ^ k。我正在使用的功能是：

#define llu unsigned long long
#define MOD 1000000009

llu mulmod(llu a,llu b) // This function calculates (a*b)%MOD caring about overflows
{
    llu x=0,y=a%MOD;
    while(b > 0)
    {
        if(b%2 == 1)
        {
            x = (x+y)%MOD;
        }
        y = (y*2)%MOD;
        b /= 2;
    }
    return (x%MOD);
}

llu fun(int n)   // This function returns answer to my query ie. n!%MOD
{
    llu ans=1;
    for(int j=1; j<=n; j++)
    {
        ans=mulmod(ans,j);
    }
    return ans;
}

我的要求是，我需要调用函数'fun'，n / 2次。对于15左右的k值，我的代码运行速度太慢。有没有办法更快？

编辑：实际上我正计算2 * [（i-1）C（2 ^（k-1）-1）] * [（（2 ^（k-1））！）^ 2]对于范围2中的所有i ^（k-1）到2 ^ k。我的程序要求（nCr）％MOD关心溢出。

编辑：我需要一种有效的方法来为大n找到nCr％MOD。

Answer 1

由于您正在为nCr的多个连续值寻找n，因此您可以使用以下内容：

    (n+1)Cr = (n+1)! / ((r!)*(n+1-r)!)
    (n+1)Cr = n!*(n+1) / ((r!)*(n-r)!*(n+1-r))
    (n+1)Cr = n! / ((r!)*(n-r)!) * (n+1)/(n+1-r)
    (n+1)Cr = nCr * (n+1)/(n+1-r)

这样可以避免显式调用每个i的阶乘函数。

此外，要保存对nCr的第一次调用，您可以使用：

    nC(n-1) = n //where n in your case is 2^(k-1).

修改：
正如Aki Suihkonen指出的那样，(a/b) % m != a%m / b%m。所以上面的方法所以上面的方法不会开箱即用。有两种不同的解决方案：

1000000009是素数，这意味着a/b % m == a*c % m其中c是b modulo m的倒数。您可以找到有关如何计算here的说明，并点击Extended Euclidean Algorithm的链接，了解有关如何计算它的更多信息。

另一个可能更容易的选择是识别出，因为nCr * (n+1)/(n+1-r)必须给出一个整数，所以必须可以将n+1-r == a*b写在a | nCr和{ {1}}（此处b | n+1表示除法，如果您愿意，可以将其重写为|。在不失一般性的情况下，让nCr % a == 0然后让a = gcd(n+1-r,nCr)。这给出了b = (n+1-r) / a。现在你的分区保证是准确的，所以你只需计算它们然后像以前那样继续乘法。编辑根据评论，我不相信这种方法会工作

我可能尝试的另一件事是(n+1)Cr == (nCr / a) * ((n+1) / b) % MOD

llu mulmod(llu a,llu b)

这也可以节省一些宝贵的时间。

Answer 2

mulmod例程可以通过较大的因子K来加速。

1）＆＃39;％＆＃39;因为（a + b）都小于N，所以是过度的 - 它足以评估c = a+b; if (c>=N) c-=N;
2）可以一次处理多个比特;请参阅＆＃34; Russian peasant's algorithm＆＃34;
的优化 3）a * b实际上足够小，可以适应64位无符号长long而不会溢出

由于实际问题是关于 nCr mod M ，因此高级优化需要使用重复

(n+1)Cr mod M = (n+1)nCr / (n+1-r) mod M.

因为公式的左侧（（ nCr ）mod M ）*（ n +1）不能被（< em> n + 1- r ），除法需要实现为与模逆的乘法：（n + r-1）^（ - 1）。模幂逆 b ^（ - 1）是 b ^（M-1）， M 是素数。（否则它 b ^（ phi （ M ）），其中 phi 是Euler＆＃39 ; s Totient功能。）

模幂运算最常用重复平方来实现，在这种情况下，每个除数需要~45次模乘。

如果可以使用重复

nC(r+1) mod M = nCr * (n-r) / (r+1) mod M

只需要计算（r + 1）^（M-1）mod M一次。

如何计算（n！）％1000000009

2 个答案: