Question

给定一组N个区间：对于每个区间，哪个其他区间具有最大重叠？

e.g。 {[0,5]，[2,9]，[2,3]，[4,9]}：

[0,5]：[2,9]（重叠4）

[2,9]：[4,9]（重叠6）

[2,3]：[0,5]或[2,9]（重叠2）

[4,9]：[2,9]（重叠6）

N可能很大，所以我认为间隔树是必要的。但是，我发现的帖子或出版物都没有描述这种查询的方法。查询的结果可以位于间隔树节点（中心左侧，中心重叠，中心右侧）的3条路径中的任何一条路径上，因为它们可能包括也可能不包括查询间隔的中心点。因此，我无法想到一个log（N）遍历方法来获得结果。

另外，对于[2,3]的情况，我并不关心挑选哪一个。可以任意挑选任何最大交叉间隔。每个查询只返回1个结果。

可以在log（N）中回答每个查询，提供Nlog（N）整体解决方案吗？

编辑：我编写的伪代码：

query(ITnode node, Interval intrv){
    // s_list: start-sorted intervals overlapping center
    // e_list: end-sorted intervals overlapping center
    if intrv.end < node.center:
        node_max = search node.s_list for interval w/ closest start to intrv.start
        return max(node_max, query(node.left_tree, intrv))
    else if intrv.start > node.center:
        node_max = search node.e_list for interval w/ closest end to intrv.end
        return max(node_max, query(node.right_tree, intrv))
    else: // Query overlaps center
        // Still working this out but I get the picture now
}

for each Interval i:
    result[i.id] = query(root, i)

Answer 1

我们可以使用区间树来解决这个问题。

ALGO：

构造一组点S - 合并间隔的所有左右点。对于来自示例S = {0,2,3,4,5,9}的输入。复杂性 - O（NlogN）
使用以下结构构建间隔树

struct tree { int max_overlap_value; int max_overlap_id; int second_max_overlap_value; int second_max_overlap_id; tree *left; tree *right; };

还设置max_overlap_value = second_max_overlap_value = 0，max_overlap_id = second_max_overlap_id -1。复杂性 - O（N）
使用输入间隔更新树节点中的值。复杂性 - O（NlogN）
对于每个间隔，找到max_overlap_value，max_overlap_id，second_max_overlap_value，second_max_overlap_id。如果max_overlap_id等于interval_id，则使用second_max_overlap_value，否则使用max_overlap_value。复杂性 - O（NlogN）

总复杂度为 O（NlogN）

Answer 2

我相信它可以使用O（RlogN）时间来解决，其中R是具有给定查询间隔i的最大重叠间隔数。我的方法是基于平衡二进制搜索树实现构建间隔树。一旦我们根据间隔构建树，我们必须找到与查询间隔重叠的设置间隔，这可以在O（RlogN）时间内完成，因为找到“a”重叠间隔是logN时间。在我们这样做之后，我们可以在O（R）时间内找到最大重叠间隔。这种方法的最坏情况复杂性是O（NlogN）。

间隔树查询

2 个答案: