感谢您对我的问题的关注：）
我的问题是找到一个（足够有效的）算法来找到给定权重函数f的正交多项式。
我试图简单地应用Gram-Schmidt算法，但这个算法效率不高。实际上，它需要O（n ^ 2）个积分。但我的目标是使用此算法来查找函数f的Hankel determinants。所以＆＃34;直接＆＃34;计算包括简单地计算矩阵并采用其决定因素只需要2 * n - 1个积分。
但是我想用这个定理来说明f的阶数n的Hankel行列式是f的正交多项式的n个第一前导系数的乘积。原因是当n变大（比如大约20）时，Hankel行列式变得非常大，我的目标是将它除以另一个大常数（对于n = 20，常数为10 ^ 103）。我的想法是＆＃34;稀释＆＃34;计算领先系数乘积中的常数。
我希望有一个O（n）算法来计算n个第一正交多项式:)我已经完成了一些挖掘并且在一般函数f的任何方向都没有找到（f可以是任何平滑函数，实际上）
编辑：我在这里确切地说明了我所谈论的对象是什么。
1）n阶的Hankel行列式是方形矩阵的行列式，其在倾斜对角线上是恒定的。例如，
a b c
b c d
c d e
是大小为3乘3的Hankel矩阵。
2）如果你有一个函数f：R - ＆gt; R，你可以联系到它的第k个时刻＆＃34;这被定义为（我将把它写在tex中）f_k：= \ int _ {\ mathbb {R}} f（x）x ^ k dx
有了这个，你可以创建一个Hankel矩阵A_n（f），其条目是（A_n（f）） {ij} = f {i + j-2}，这是一个像
f_0 f_1 f_2
f_1 f_2 f_3
f_2 f_3 f_4
考虑到这一点，很容易定义f的Hankel行列式，这很简单 H_n（f）：= det（A_n（f））。 （当然，可以理解f在无穷远处有足够的衰减，这意味着所有的时刻都很明确.f的典型选择可能是高斯f（x）= exp（-x ^ 2），或任何连续的在一组紧凑的R ...上运行。）
3）我称之为f的正交多项式是一组多项式（p_n），这样
\ int _ {\ mathbb {R}} f（x）p_j（x）如果j = k且0 otherwize，则p_k（x）为1。
（因为它们形成了关于标量积的多项式向量空间的标准正交基，所以它们被称为
（p | q）= \ int _ {\ mathbb {R}} f（x）p（x）q（x）dx
4）现在，它是基本的线性代数，从配备标量积的向量空间的任何基础，你可以通过Gram-Schmidt algorithm建立一个标准正交基。这是n ^ 2集成的来源。你从基础1，x，x ^ 2，...，x ^ n开始。那么你需要n（n-1）个积分来使该族成为正交，你还需要n个以便对它们进行归一化。
5）有一个定理说如果f：R - > R是一个在无穷远处具有足够衰减的函数，那么我们得到它的Hankel行列式H_n（f）等于
H_n（f）= \ prod_ {j = 0} ^ {n-1} \ kappa_j ^ { - 2}
其中\ kappa_j是f的第j + 1正交多项式的前导系数。
感谢您的回答！
（PS：我标记了八度，因为我在八度音程中工作，运气不错（但我对此表示怀疑），有一个内置函数或已完成管理这种思考的包）
答案 0 :(得分：2)
正交多项式遵循递归关系，我们可以将其写为
P[n+1] = (X-a[n])*P[n] - b[n-1]*P[n-1]
P[0] = 1
P[1] = X-a[0]
我们可以通过
计算a，b系数a[n] = <X*P[n]|P[n]> / c[n]
b[n-1] = c[n-1]/c[n]
，其中
c[n] = <P[n]|P[n]>
（此处＆lt; |＆gt;是您的内在产品）。
但是我不能保证这个过程的稳定性。