Question

假设我有一个n维正交矩阵，其中包含一些元素，而其他元素未知。是否存在一种有效的算法来找出未知元素并恢复整个矩阵（如果有很多，只需找到一个解决方案，并且在没有解决方案时会出错）？

谢谢！

Answer 1

解决方案取决于每行/每列缺少多少元素。

我可以看到两种方法来解决这个问题

<强> 1。每行/每列最多丢失1个元素

在这种情况下，你可以利用正交矩阵的任何行/列是单位向量
因此对于任何行/列{ a1,a2,a3=??,a4,...,an }
未知元素为a3=sqrt(1-a1^2-a2^2-a4^2-a5^2-...-an^2)
如果您在行使用列中有多个未知元素，反之亦然
如果同时在行和列中存在太多未知数
然后你需要对该元素使用不同的方法

<强> 2。超过1缺少元素

首先找到方法1可以找到的所有未知数
然后，如果Inverse(Q)==Transpose(Q)正交

Q

因此从逆Q
并将其与转置的
这将创建一个线性方程

为所有未知事项执行此操作并解决系统

     a11 a12     a13
Q =  a21 a22=?? a23=??
     a31 a32=?? a33=??

                  a11 a21 a31
transpose(Q) =  a12 a22=?? a32=??
                  a13 a23=?? a33=??

             i11 i12 i13
inverse(Q)= i21 i22 i23
             i31 i32 i33

det=a11.a22.a33+a21.a32.a13+a31.a12.a23-a11.a32.a23-a31.a22.a13-a21.a12.a33
a22=i22=(a11.a33-a13.a31)/det
a32=i23=(a13.a21-a11.a23)/det
a23=i32=(a12.a31-a11.a32)/det
a33=i33=(a11.a22-a12.a21)/det

这应该是可以解决的......
如果没有，那么你也可以添加bullet 1
如果仍然没有找到解决方案，或者你需要使用不同的方法

在计算之前，您应首先检查|elements|是否不是太大

所以将行/列中的所有已知元素^ 2相加，结果应为<=1
如果没有那么这也不是正交矩阵......
有关详细信息，请参阅Orthogonal matrixes (Wiki)

第3。如果你有element = 1.0

然后该行/列中的所有元素都将为零

关于正交矩阵的算法

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