Question

我正在构建一种算法，该算法在给定步骤S的n个序列（可以是正实数）的重复下进行排列，在所有组合的总和为k的约束下，ka为正整数。

因此我的问题是找到等式的解决方案：

x 1 + x 2 +⋯+ x n = k 其中

0≤xi≤bi 和S（步骤）一个有限小数的实数。

例如，如果0≤xi≤50，S = 2.5则xi = {0,2.5,5，...，47.5,50}。

这里的观点是仅通过具有和= k的组合来查看，因为如果n很大则不可能生成所有排列，因此我想绕过它以仅生成与约束匹配的组合。

我想从n = 2开始，并找到与约束匹配的所有线性组合。

例如：如果xi = {0,2.5,5，...，47.5,50}和k = 100，那么我们只有一个组合= {50,50} 对于n = 3，我们得到n = 2乘3的组合，即{50,50,0}，{50,0,50}和{0,50,50}加上组合{50,47.5,2.5} * 3！等...

如果xi = {0,2.5,5，...，37.5,40}和k = 100，那么我们有n = 2的0个组合，因为2 * 40 <100，我们有{40,40， n = 3的20}次3 ...（如果我没记错的话）

我有点迷失，因为我似乎找不到合适的方法来启动算法，知道我应该将步骤S和b作为输入。

你有什么建议吗？

由于

Answer 1

您可以通过将所有内容除以 S 将您的问题转换为整数问题：我们想找到所有整数序列 y ₁，...，y _n with：

（1）0≤y_i≤⌊b/S⌋

（2） y ₁ + ... + y _n = k / S

如果 k 不是 S 的倍数，我们可以看到没有解决方案。一旦我们减少了问题，我建议使用伪多项式动态编程算法来解决subset sum problem，然后从中重构解决方案。设 f（i，j）是与 i 元素进行求和 j 的方法的数量。我们有以下重复：

f(0,0) = 1
f(0,j) = 0  forall j > 0
f(i,j) = sum_{m = 0}^{min(floor(b / S), j)} f(i - 1, j - m)

我们可以通过逐行填写 O（n * k / S）时间来解决 f 。现在我们想要重建解决方案。我使用Python风格的伪代码来说明这个概念：

def reconstruct(i, j):
    if f(i,j) == 0: 
        return
    if i == 0:
        yield []
        return
    for m := 0 to min(floor(b / S), j):
        for rest in reconstruct(i - 1, j - m):
             yield [m] + rest

result = reconstruct(n, k / S)

result将列出所有可能的组合。

Answer 2

您所描述的内容听起来像subset sum problem的特例。一旦你用这些术语表达，你会发现Pisinger显然有linear time algorithm来解决你问题的更一般版本，因为你的权重有限。如果您对设计自己的算法感兴趣，可以先阅读Pisinger's thesis来获得一些想法。

由于您正在寻找所有可能的解决方案，而不仅仅是一个解决方案，动态编程方法可能是您最好的选择。

约束总和的安排

2 个答案: