通过与矩阵相乘的稳定性？

Question

我想知道如何证明（或反驳）

• 如果$ A $是矩阵$ n \次n $和
• $ b_1 .... b_k $是$ \ mathbb中的$ k $向量{R} ^ {n} $
• 所以$ Ab_1，...，Ab_ {k} $是$ \ mathbb {R} ^ {n} $
中的一组生成器

那么矢量族$ b_ {1}，...，b_ {k} $也是如此。

感谢。

Answer 1

本质上，这个问题是询问等级（A * B）= n是否意味着等级（B）= n。这是

的结果

等级（A * B）＆lt; = min（等级（A），等级（B））

并且由于所涉空间的维度的原因，秩（A）＆lt; = n和秩（B）＆lt; = min（k，n），因此组合链

n = rank（A * B）＆lt; = min（rank（A），rank（B））＆lt; = min（k，n）

没有太大的摆动空间。

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作为问题，这个答案是SO的主题，属于math.SE。