Question

此问题是对此处帖子的跟进：Fastest way to determine if an integer's square root is an integer，What's a good algorithm to determine if an input is a perfect square?。

其中一个帖子有这个解决方案，可以查找给定的数字是否为perfect square：

public final static boolean isPerfectSquare(long n)
    {
        if (n < 0)
            return false;

        switch((int)(n & 0xF))
        {
        case 0: case 1: case 4: case 9:
            long tst = (long)Math.sqrt(n);
            return tst*tst == n;

        default:
            return false;
        }
    }

这是一个简洁的解决方案，完美无缺。但是没有详细解释它是如何工作的，或者更重要的是如何得出这个解决方案。我想知道如何推导出这个解决方案。

Answer 1

虽然这个问题不是直接编程，但它仍然与选择的解决方法有关。这就是为什么我会发布正确的解释。显然，x & 0xF只相当于x % 16 - 即从除法到16的模数（因为它将留下相应的位。但是，这个技巧只适用于2的幂）。

这个方法基于完美广场非常重要的事情：

如果整数K被分为任何整数b且模r（K%b = r}，那么K ^{2 < / sup>和r ²除以b将得到相同的模数。}

为什么呢？实际上，我们有：K ² -r ² =（Kr）（K + r）和K-r将被归为b整数结果（因为r是K的模数除以b）

这就是b=16：

的原因

r       r^2  (r^2)%16
0 ---->  0 ---> 0
1 ---->  1 ---> 1
2 ---->  4 ---> 4
3 ---->  9 ---> 9
4 --->  16 ---> 0
5 --->  25 ---> 9
6 --->  36 ---> 4
7 --->  49 ---> 1
8 --->  64 ---> 0
9 --->  81 ---> 1
10 --> 100 ---> 4
11 --> 121 ---> 9
12 --> 144 ---> 0
13 --> 169 ---> 9
14 --> 196 ---> 4
15 --> 225 ---> 1

所以，正如你所看到的，如果r来自完美正方形的除法，则模必须与r^2%16的模数相同 - 因此，它可以是仅 0，1，4和9

更重要的一点是：这是必要的条件，对于完美的正方形而不是足够的条件（所以点是“如果modulo不是0,1,4或9，那么数字不是完美的方形“，但它仍然不等于”如果模数为IS 0,1,4或9则数字IS完美正方形“简单样本为{{ 1}}：17但是17不是完美的正方形）这就是为什么即使满足模数条件，方法仍然使用

返回tst * tst == n;

-i.e。通过计算它的平方根来测试17%16 = 1是完美的平方。所以这种方法大约会快4倍 - 因为从16个可能的模数n到12，我们总能返回r。

Answer 2

n & 0xF只选择n的最后4位，因为0xF是二进制的1111。实际上，它相当于当n除以16时得到余数。

此算法利用以下事实：对于完美的正方形m，m % 16只能是0，1，4或{{}}之一{1}}。可以证明如下：

任何自然数9都可以表示为n，4k，4k+1或4k+2（对于某些自然数4k+3）。

然后，k可以是n^2，(4k)^2，(4k+1)^2或(4k+2)^2。 =＆GT; (4k+3)^2可以是n^2，16k^2，16k^2+8k+1或16k^2+16k+4。

如果16k^2+24k+9为n^2，则16k^2显然为0.

如果n^2 % 16为n^2，16k^2+8k+1，则取决于n^2 % 16 = (8k+1) % 16 = (8k % 16) + 1 = 0 or 9是偶数还是奇数。

如果k为n^2，16k^2+16k+4。

如果n^2 % 16 = 4为n^2，16k^2+24k+9取决于k是奇数还是偶数。

因此，n^2 % 16 = (24k+9) % 16 = (16k+8k+9) % 16 = 1 or 9只能是n^2 % 16。

完美的平方算法 - 实现的解释

2 个答案: