计算对数正态分布随机变量的预期回报

Question

让x成为具有参数mu=0和sigma=0.25的对数正态分布的随机变量。 x的概率密度函数可以在Matlab中用x=lognrnd(0, 0.25)获得。

如何从中计算x的预期值？

上下文：x产生投资的给定回报的概率，我的任务是计算此投资的预期回报。

Answer 1

如果您知道（或可以制作）sigma和mu，则可以分析地计算expected value for a lognormal distribution：

mu = 0;
sigma = 0.25;
expected = exp(mu + 0.5*sigma^2)

format long返回1.031743407499103。

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您也可以凭经验这样做：

number_of_trials = 1000; % Increase for more accuracy, decrease for performance
samples = lognrnd(mu, sigma, number_of_trials, 1);
expected = mean(samples)

我重复了1000次（因此1000x1000次试验）并获得了1.031981838396974的平均期望值，误差为0.008366264395879。许多此类实验的预期回报直方图，每个试验1000次：

注意均值是如何正态分布的，即使原始分布不正常。如果您尝试通过获取几个样本的平均值来估计真实均值，那么无论您的原始分布是什么，该样本均值将始终正常分布在真实均值周围。这称为central limit theorem。