Question

我一直在尝试计算由36个36矩阵组成的约旦正规形式，该矩阵仅由三个不同的条目1，1/2和0组成。矩阵是一个概率转移矩阵，因此，给定这些条目，矩阵显然是稀疏的。

我遇到的问题如下：每当我尝试计算

时

[V, J] = jordan(A),

或

[V, J] = jordan(sym(A)),

我收到以下错误消息：

使用mupadmex时出错   MuPAD命令出错：相似度矩阵太大。

sym / mupadmexnout出错（第1546行）
  out = mupadmex（fcn，args {：}）;

sym / jordan中的错误（第32行）
  [Vsym，Jsym] = mupadmexnout（'symobj :: jordan'，A，'All'）;

我在MATLAB帮助中读到，Jordan形式的计算对扰动非常敏感。但是，我认为我的计算不是问题，因为矩阵的所有条目都是整数或整数比。

我的问题如下：

如何解释收到的错误输出？
我收到的错误是否可以解决？
如果错误无法解决，是否有替代方法（Matlab中的函数）我可以尝试计算Jordan表单？

Answer 1

1）如何解释收到的错误输出？

关键是Matlab使用符号计算来评估Jordan形式。这就是它要求你提供有理数的原因。当我们考虑数值编程时，36乘36的矩阵非常小，但是（我不确定）这个大小对于符号编程来说可能很大。

2）为什么matlab没有工具箱来评估Jordan形式的数字？

关键是此评估在数值上不稳定。见the example in Wikipedia。基本上，任何具有多个特征值（共享相同块）的矩阵的扰动都可能导致这些特征值在所需的Jordan形式的分离块中变得明显。

3）如果错误不可寻址，是否有替代方法（Matlab中的函数）我可以尝试计算Jordan形式？

我认为Matlab没有数值函数来解决这个任务。

我不确切知道你正在看什么样的应用程序......话虽如此，一个（非常常见的）选项是评估Schur form（两个转换都在上三角分解中转换矩阵），这在数值上是稳定的。它使用单一相似变换。 Matlab的schur函数实现了这一点。

另请参阅此Math.StackExchange问题：What's the difference between Jordan and Schur decomposition?

Answer 2

我将主要讨论你问题的第三部分：计算约旦形式的替代方法。

根据您要评估的最大矩阵以及可能的Matlab版本，是的，您可以象征性地计算Jordan形式及其相似性变换。

我前一段时间a related question，所以你的问题让我再次对此进行了研究。在我的问题中，我无法使用jordan函数使用Matlab R2013a计算大于82乘82的测试矩阵的广义特征向量（与我现在使用的R2014b相同）。

更新： R2015a +似乎解决了大于82 x 82的矩阵的问题 - 至少对于下面的300 x 300测试矩阵。以下是R2015a之前的解决方法。

诀窍归结为使用不同的（可能更新的）MuPAD函数来计算Jordan形式和相关的相似变换：linalg::jordanForm而不是symobj::jordan。因为你甚至无法计算36乘36的乔丹形式，我想知道你是否使用了更旧的版本。因此，我无法保证这将在您的Matlab版本中有效。这是必要的代码：

% My test matrix
A = -eye(40);
A(1,2:end-1) = -2;
A(1,end) = -1/2;
A(2,2) = 1/2;

% [V,J] = jordan(A); doesn't work for A larger than 82-by-82
P = feval(symengine,'linalg::jordanForm',sym(A),'All');
J = double(P(1));
V = double(P(2));

我能够使用此计算300 {300}测试矩阵J和V，但我的MacBook Pro上花了大约一分钟。这仍然是一种象征性的方法，对于许多符号操作来说，任何超过100乘100的东西都可能被认为是非常大的。旧版本的Symbolic Math工具箱效率更低。

顺便说一句，如果你实际上不需要相似变换V，那么你仍然可以使用J = jordan(A);而不会出错。

解释计算约旦形式的36乘36矩阵的误差

2 个答案: