多项式时间：接受和决策算法

Question

我似乎无法区分接受和决策算法，即使我觉得我理解这个概念。我目前正在阅读“算法导论”（Cormen），并且在NP-Completeness章节后面有一个问题，因为它说明了

  

“对于其他问题，例如图灵的停机问题，存在接受        算法，但没有决策算法“。

这对我来说是有道理的，但我们会更进一步说出

"P= {L from {0,1}*: there exists an algorithm A that decides L in polynomial time}

我们想要证明P也是

P={L:L is accepted by a polynomial time algorithm}, starting with

     

“因为语法类由多项式时间算法决定，我们只需要表明如果L被多项式时间算法接受，则由多项式时间算法决定。”。

然后我们继续构建一个接受算法的模拟，该模拟另外检查接受算法的行为，如果前一个算法接受输入则输出1，否则输出0。

但是如果我们可以构建这样一个算法，那么停止问题怎么可能有接受但不是决策算法呢？

Answer 1

差异与运行时的上限有关。在考虑多项式时间算法时，如果您有多项式时间接受器，则可以将其转换为多项式时间决策器，如下所示：

• 运行算法以获取在最坏情况下接受的多项式时间。
• 如果它在这个时候接受了，太棒了！接受。
• 如果它在这个时间不接受，它永远不会接受。拒绝。

因此，接受者可以变成一个决策者。

现在，为停止问题考虑同样的事情：

• 运行算法，只要在最坏的情况下接受即可。
• 如果它在这个时候接受了，太棒了！接受。
• 如果它在这个时间不接受，它永远不会接受。拒绝。

这里的问题是算法不会接受一些固定的时间 - 程序可以在接受之前任意运行很长时间，因此没有办法说“运行它直到它已经被接受”，因为没有计算过程能够弄清楚这是什么时候。

有趣的是，它连接到Busy Beaver功能。直观地，大小为n的繁忙海狸是长度为n的程序，它总是停止，但是需要尽可能长的时间来停止所有大小为n的程序。对于特定输入w，n阶w的繁忙海狸数是在输入w上停止大小为n的繁忙海狸程序所需的步数。这个数字在数学上是明确定义的，但它不能由任何计算机程序计算，否则你可以使用它来使上述算法正常工作。

希望这有帮助！