Question

这是我最近面临的一个面试问题。程序返回数组中最大数字的索引[注意：数组可能包含也可能不包含多个最大数字副本]，这样每个索引（包含最大数字）的概率为1 /最大数字被退回。

示例：

[ - 1 3 2 3 3]，每个职位[1,3,4]的概率为1/3（三个3）
[2 4 6 6 3 1 6 6]，每个[2,3,6,7]都有1/4的概率返回（对应于6s的位置）。

首先，我给出了O（n）时间和O（n）空间算法，我收集了最大索引集，然后从集合中返回一个随机数。但他要求O（n）时间和O（1）复杂度计划，然后我想出了这个。

int find_maxIndex(vector<int> a)
{
     max = a[0];
     max_index = 0;
     count = 0;

     for(i = 1 to a.size())
     {
         if(max < a[i])
         {
             max = a[i];
             count = 0;
         }
         if(max == a[i])
         {
              count++;
              if(rand < 1/count) //rand = a random number in the range of [0,1]
                  max_index = i;
         }
      }
      return max_index;
}

我给了他这个解决方案。但我怀疑的是，这个程序是否会以相同的概率选择最大数的索引之一。希望我很清楚。有没有其他方法可以做到这一点？

Answer 1

您的算法运行正常，您可以通过归纳证明它。

也就是说，假设它适用于任何大小为N的数组，证明它适用于任何大小为N+1的数组。

因此，给定一个大小为N+1的数组，将其视为大小为N的子数组，最后跟随一个新元素。通过假设，您的算法统一选择子数组中的一个最大元素......然后它的行为如下：

如果新元素大于子数组的最大值，则返回该元素。这显然是正确的。

如果新元素小于子数组的最大值，则返回子数组上算法的结果。也显然是正确的。

唯一稍微棘手的部分是当新元素等于子数组的max元素时。在这种情况下，让子数组中的最大元素数为k。然后，根据假设，您的算法选择其中一个概率1/k。通过保持概率为k/(k+1)的相同元素，您可以根据需要选择相同元素的总概率等于1/k * k /(k+1) == 1/(k+1)。你也选择了具有相同概率的最后一个元素，所以我们完成了。

要完成归纳证明，只需验证算法是否适用于大小为1的数组。另外，为了实现质量，请修复它不要在大小为零的数组上崩溃： - ）

[更新]

顺便提一下，这个算法及其证明与Fisher-Yates shuffle密切相关（我一直认为是“Knuth的卡片改组算法”，但维基百科说我落后于时代）。

Answer 2

你拥有的是Reservoir sampling！还有另一种易于理解的解决方案，但需要两次通过。

int find_maxIndex(vector<int> a){
    int count = 1;
    int maxElement = a[0];
    for(int i = 1; i < a.size(); i++){
        if(a[i] == maxElement){
            count ++;
        } else if(a[i] > maxElement){
            count = 1;
            maxElement = a[i];
        }
    }
    int occurrence = rand() % count + 1;
    int occur = 0;
    for(int i = 0; i < a.size(); i++){
        if(a[i] == maxElement){
            occur++;
            if(occur == occurrence) return i;
        }
    }
}

算法非常简单，首先查找第一遍中出现最大元素的次数。并选择一个随机事件并返回该事件的索引。虽然需要两次通过，但很容易理解。

Answer 3

这个想法是合理的，但魔鬼在细节中。

首先，您使用的语言是什么？它可能会有所作为。来自C和C ++的rand()将返回一个整数，除非返回1/count，否则该整数不可能小于0。即便如此，如果1/count是整数除法，那么结果总是0。

此外，您的计数结果为1.当您获得新的最大值时，它会以1开头，但您会立即在下一个if语句中将其递增。

对数组中的最大数量的索引进行采样，概率为1 /（最大数量的数量）

3 个答案: