具有很大因子的任意精度算术

Question

这是一个数学问题，不是编程就是有用的东西！

我想计算非常大数的阶乘（10 ^ n，其中n> 6）。 我达到了任意精度，这对1000之类的任务非常有用。但它显然死了（StackOverflowException :)）更高的值。我不是在寻找直接的答案，而是一些关于如何进一步发展的线索。

    static BigInteger factorial(BigInteger i)
    {
        if (i < 1)
            return 1;
        else
            return i * factorial(i - 1);
    }
    static void Main(string[] args)
    {
        long z = (long)Math.Pow(10, 12);
        Console.WriteLine(factorial(z));
        Console.Read();
    }

我是否必须从System.Numerics.BigInteger辞职？我想到了一些在文件中存储必要数据的方法，因为RAM显然会耗尽。此时优化非常重要。那么你会推荐什么？

另外，我需要尽可能精确的数值。忘记提到我不需要所有这些数字，只有大约20个。

Answer 1

正如其他答案所示，递归很容易被删除。现在的问题是：您可以将结果存储在BigInteger中，还是必须转到某种外部存储？

您需要存储的位数n!大致与n log n成比例。 （这是 Stirling的近似的弱形式。）所以让我们看看一些大小:(注意我在这篇文章的早期版本中做了一些算术错误，我在这里进行了修改。）

(10^6)! takes order of 2 x 10^6 bytes = a few megabytes
(10^12)! takes order of 3 x 10^12 bytes = a few terabytes
(10^21)! takes order of 10^22 bytes = ten billion terabytes

一些megs将适合记忆。您可以轻松掌握几TB，但您可能需要编写一个内存管理器。 100亿太字节将占用全球所有科技公司的综合资源，但它是可行的。

现在考虑计算时间。假设我们每台机器每秒可以执行一百万次乘法，并且我们可以将工作以某种方式并行化到多台机器上。

(10^6)! takes order of one second on one machine
(10^12)! takes order of 10^6 seconds on one machine = 
                     10 days on one machine = 
                     a few minutes on a thousand machines.
(10^21)! takes order of 10^15 seconds on one machine = 
                        30 million years on one machine =
                        3 years on 10 million machines
                        1 day on 10 billion machines (each with a TB drive.)

所以（10 ^ 6）！在你的掌握之中。 （10 ^ 12）！你将不得不编写自己的内存管理器和数学库，这需要一些时间来得到答案。 （10 ^ 21）！你将需要组织世界上所有的资源来解决这个问题，但它是可行的。

或者你可以找到另一种方法。

Answer 2

解决方案很简单：在不使用递归的情况下计算阶乘，并且不会炸掉堆栈。

即。您没有收到此错误，因为数字太大，但是因为您有太多级别的函数调用。幸运的是，对于阶乘，没有理由以递归方式计算它们。

一旦解决了堆栈问题，您就可以担心数字格式是否可以处理“非常大”的因子。由于您不需要确切的值，因此请使用许多有效的数值近似值之一（您可以依靠它来获得所有最重要的数字）。最常见的是斯特林的近似值：

n! ~ n^n e^{-n} sqrt(2 \pi n)

图像来自this page,，您可以在那里找到讨论，第二个更准确的公式（尽管“在大多数情况下，差异非常小”，他们说）。当然这个数字对于你来说仍然太大而无法存储，但现在你可以使用对数并在提取数字之前删除不重要的数字。或者使用近似值的Wikipedia version，它已经表示为对数。

Answer 3

展开递归：

static BigInteger factorial(BigInteger n)
{
    BigInteger res = 1;
    for (BigInteger i = 2; i <= n; ++i)
        res *= i;
    return res;
}