Question

我正在尝试学习C并且遇到无法使用真正的大数字（即100位，1000位等）。我知道存在可以执行此操作的库，但我想尝试自己实现它。

我只是想知道是否有人或者可以提供任意精度算术的非常详细，愚蠢的解释。

Answer 1

虽然重新发明轮子非常适合您的个人教育和学习，但它也是一项非常大的任务。我不想劝阻你作为一项重要的练习，也不是我自己完成的练习，但是你应该意识到大型课程所涉及的工作中存在微妙而复杂的问题。

例如，乘法。天真地，你可能会想到“小学生”的方法，即在一个数字之上写一个数字，然后在学校学习时进行长时间的乘法。例如：

      123
    x  34
    -----
      492
+    3690
---------
     4182

但这种方法非常慢（O（n ^ 2），n是位数）。相反，现代bignum包使用离散傅立叶变换或数值变换将其转换为基本上为O（n ln（n））的操作。

这只适用于整数。当你在某种类型的真实数字表示（log，sqrt，exp等）上进入更复杂的函数时，事情变得更加复杂。

如果您有一些理论背景，我强烈建议您阅读Yap的书的第一章"Fundamental Problems of Algorithmic Algebra"。如前所述，gmp bignum库是一个很好的库。对于实数，我使用了mpfr并喜欢它。

Answer 2

不要重新发明轮子：它可能会变成方形！

使用经过试用和测试的第三方库，例如GNU MP。

Answer 3

你的方式基本上和铅笔和纸一样......

数字将在缓冲区（数组）中表示，可以根据需要采用任意大小（这意味着使用malloc和realloc）
使用语言支持的结构尽可能多地实现基本算法，并手动处理携带和移动小数点
您搜索数字分析文本以找到更复杂函数处理的有效参数
你只能根据需要实施。

通常，您将使用基本的计算单位

包含0-99或0-255
16位字，0-9999或0--65536
包含...的32位字
...

由您的架构决定。

二进制或十进制基数的选择取决于您对最大空间效率，人类可读性以及芯片上是否存在二进制编码十进制（BCD）数学支持的需求。

Answer 4

你可以用高中数学水平做到这一点。虽然现实中使用了更先进的算法。例如，添加两个1024字节的数字：

unsigned char first[1024], second[1024], result[1025];
unsigned char carry = 0;
unsigned int  sum   = 0;

for(size_t i = 0; i < 1024; i++)
{
    sum = first[i] + second[i] + carry;
    carry = sum - 255;
}

如果要添加以处理最大值，

结果必须更大one place。看看这个：

9
   +
9
----
18

如果你想学习，

TTMath是一个很棒的图书馆。它是使用C ++构建的。上面的例子很愚蠢，但这就是加法和减法一般的做法！

关于这个主题的一个很好的参考是Computational complexity of mathematical operations。它告诉您要实现的每个操作需要多少空间。例如，如果您有两个N-digit个数字，则需要2N digits来存储乘法结果。

正如 Mitch 所说，实施起来并不是一件容易的事！如果您了解C ++，我建议您查看TTMath。

Answer 5

最终参考之一（恕我直言）是Knuth的TAOCP第二卷。它解释了许多用于表示这些表示的数字和算术运算的算法。

@Book{Knuth:taocp:2,
   author    = {Knuth, Donald E.},
   title     = {The Art of Computer Programming},
   volume    = {2: Seminumerical Algorithms, second edition},
   year      = {1981},
   publisher = {\Range{Addison}{Wesley}},
   isbn      = {0-201-03822-6},
}

Answer 6

假设您希望自己编写一个大整数代码，这可能会非常简单，最近会做一些人（尽管在MATLAB中。）以下是我使用过的一些技巧：

我将每个十进制数字存储为一个双数字。这使得许多操作变得简单，尤其是输出。虽然它确实占用了比你想象的更多的存储空间，但这里的内存很便宜，如果你能有效地卷积一对矢量，它会使乘法变得非常有效。或者，你可以在一个double中存储几个十进制数字，但要注意那么进行乘法的卷积会导致非常大的数字上的数字问题。
单独存储符号位。
添加两个数字主要是添加数字，然后检查每一步的进位。
一对数字的乘法最好以卷积后跟一个进位步骤进行，至少如果你有一个快速卷积码，那么这就好了。
即使将数字存储为单个十进制数字的字符串，也可以进行除法（也就是mod / rem操作）以在结果中一次获得大约13个十进制数字。这比一次只能处理1位十进制数的除法效率要高得多。
要计算整数的整数次幂，请计算指数的二进制表示。然后使用重复的平方操作来根据需要计算功率。
许多操作（分解，素数测试等）将受益于powermod操作。也就是说，当你计算mod（a ^ p，N）时，在求幂的每一步减少结果mod N，其中p已经以二进制形式表示。不要先计算^ p，然后再尝试将其缩小为N.

Answer 7

这是我在PHP中做的一个简单（天真）的例子。

我实现了“添加”和“乘法”，并将其用作指数示例。

http://adevsoft.com/simple-php-arbitrary-precision-integer-big-num-example/

代码片段

// Add two big integers
function ba($a, $b)
{
    if( $a === "0" ) return $b;
    else if( $b === "0") return $a;

    $aa = str_split(strrev(strlen($a)>1?ltrim($a,"0"):$a), 9);
    $bb = str_split(strrev(strlen($b)>1?ltrim($b,"0"):$b), 9);
    $rr = Array();

    $maxC = max(Array(count($aa), count($bb)));
    $aa = array_pad(array_map("strrev", $aa),$maxC+1,"0");
    $bb = array_pad(array_map("strrev", $bb),$maxC+1,"0");

    for( $i=0; $i<=$maxC; $i++ )
    {
        $t = str_pad((string) ($aa[$i] + $bb[$i]), 9, "0", STR_PAD_LEFT);

        if( strlen($t) > 9 )
        {
            $aa[$i+1] = ba($aa[$i+1], substr($t,0,1));
            $t = substr($t, 1);
        }

        array_unshift($rr, $t);
     }

     return implode($rr);
}

任意精度算术解释

8 个答案: