平铺放置算法

Question

我有这块瓷砖，宽36英尺36英寸，高。

所以我有块8x8,6x6,6x8,4x8可以旋转90度以适应任何可能的地方。 我的任务是制作应用程序来计算应该选择哪个和多少个块，以便所有块一起适合给定的墙壁oppening。在这个例子中，操作36 x 36。

注意：oppening应尽可能少地填充，这意味着更大的tile具有优先级

我应该使用哪种算法进行磁贴放置？

另一个例子。 Field 30 x 30绘制如下：

50 x 50

Answer 1

由于amit给了general case answer，我将特别提到这一点。使用这四个块大小，并假设它甚至可能（维度均匀且> = 6等），您可以使用半贪心算法：

第一个目标是最大化8x8块的数量。要做到这一点，您需要确定每个方向需要多少6个大小的块。对于每个维度，只需检查8的可除性。如果它不可分，则减去6.重复直到可以整除（它不应超过3次尝试）。

无论多少次，在这个维度上你需要6x6块。从它们中形成一个矩形并将其放在一个角落里。从8x8块中形成另一个矩形，并将它们放在对角。这两个矩形的角应该是触摸的。

所以现在你可能有一些剩余的空间，在对角的两个矩形的形式。我们知道每个维度的一个维度可以被8整除，一个维度可以被6整除。这里的简单方法是用适当的6x8块填充它，但这不会保证最大数量的大（8x8）块。例如，对于50x50，您将有两个18x32的矩形。你可以用12个6x8瓷砖填充它们。你甚至不能做优于每个12块，但你可以在那里适应更多的8x8块。

如果这不是一个问题，那么你已经完成了（万岁）。这种方式的好处是你永远不需要使用4x8块。

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如果你做想要最大化8x8块，你将不得不采取另一个步骤。我们在这里专注于可被6整除的维度，因为8很容易。我们可能需要的每个尺寸（8x8,6x8,4x8）完美地堆叠在那里。

另一方面，它只有3个可能的数字：6,12和18.如果是其他任何东西，第一步没有做好。然后采取以下行动：

• 对于6，添加一行6x8（无优化）
• 对于12，添加一行4x8和一行8x8
• 18，添加一行4x8，一行6x8，一行8x8

完成！

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要看到差异，我们这里有两个50x50网格：

Blue  - 8x8
Red   - 6x6
Green - 6x8
Gray  - 4x8

这个第一个例子给了我们49个总积木。蓝色是32x32区域（16个区块），红色是18x18（9个区块），其余的只是填充6x8（24个区块）。

此示例仍然总共提供了49个，但还有更多的8x8块。这里我们有24个大块，而不是最后一个例子中的16个。现在还使用了4x8块。

Answer 2

在这里，你用Python：

def aux(x):
    # in h we store the pre-calculated results for small dimensions
    h = {18:[6,6,6], 16:[8,8], 14:[8,6], 12:[6,6], 10:[6,4], 8:[8], 6:[6], 4:[4]}
    res = []
    while x > 18: 
        # as long as the remaining space is large, we put there tiles of size 8
        res.append(8)
        x -= 8
    if x not in h:
        print("no solution found")
        return []

    return res + h[x]

def tiles( x, y ):
    ax = aux(x) # split the x-dimension into tiles
    ay = aux(y) # split the y-dimension into tiles
    res = [ [ (x,y) for x in ax ] for y in ay ]
    for u in res:
        print(u)
    return res


tiles( 30, 30 )

基本思想是你可以独立解决x和y，然后将两种解决方案结合起来。

编辑：正如Dukeling所说，这段代码很乐意使用4x6和4x4块，这与要求相反。但是，我认为只有在没有其他办法的情况下才会这样做。因此，如果结果包含这样的块，那么没有这些块就没有解决方案。如果您没有现成的Python，可以在此处使用此代码：http://ideone.com/HHB7F8，只需在源代码上方按 fork 即可。

Answer 3

假设您正在寻找一般案例答案，我很遗憾地说 - 但这个问题是NP-Complete。它基本上是Subset Sum Problem的二维变体。

子集求和问题：给定一组S和一个数字x - 找出是否有S的子集加到x。

很容易看出，通过将子集和问题减少到大小为1*x的“字段”以及s中的每个S，我们都有一个图块1*s - 解决一个问题也是另一个问题的解决方案。

因此 - 对这个问题没有已知的多项式解，并且大多数人认为不存在。
但请注意，这里也可以使用pseudo-polynomial dynamic programming solution to subset sum。