块放置算法

Question

我目前有一个正方形和一系列以下尺寸的矩形： （225,300），（225,450），（450,225），（300,225）

我需要设计一种算法来确定此方块中所有可能的块组合而不重叠，始终填充整个框并假设每个块都有无限量。目前是否有任何算法以有效的方式处理这个问题？

Answer 1

在文献中，有效地 = 多项式。

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请注意，即使你知道你可以完全填充方块 - 找到所有可能的方法是指数级的，因为有指数的。

看看6K * 6K板。填充它的一种方法是将它减少到大小为6 * 6的K ^ 2个子方块，对于每个方法，你可以使用（6,3）或（3,6）来创建它 - 导致{{1}填补广场的可能方法。 （我们仍然没有涵盖所有可能的方法）。

因此，不能多项式地（=有效地）生成所有解。
我会寻找一些回溯/穷举搜索解决方案来检查所有可能的位置以获得所需的结果。

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原始答案，忽略了特定问题中的一些问题，并面对它的更一般的变化（给出的板是矩形，而不是正方形，瓷砖不是固定尺寸）：

但是，确定是否有任何可能的方法来完全填充 square 矩形 ¹ 的问题是NP-Hard，它的私有情况（给定一个“板”和一个大小为nxm的矩形）在this thread中讨论，并且被证明是NP-Hard，因此没有已知的多项式解决方案来解决这个问题

由于确定是否存在任何可能的平铺是NP-Hard，因此找不到所有这些（甚至其中一个）也不能以多项式完成（除非P=NP，但大多数认为不太可能）。

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（1）原始答案写成方形但是假设矩形。对于方块，可能更容易找到单个答案，并且缩减不成立。

Answer 2

如果只使用四种矩形来填充正方形，我们就可以解决这个问题。

输入： N
输出：确定尺寸为N的正方形是否可以用矩形（3,4），（3,6），（6,3）和（4,3）填充。

答案是真的当且仅当

1. N是正整数
2. N mod 6 == 0

以下是我的解释。

1. N应该是整数，因为我们无法获得添加整数的分数。
2. 如果N mod 6 == 1，则该方形mod 6的面积== 1.
   如果N mod 6 == 2，则该方形mod 6的面积== 4 如果N mod 6 == 3，则该方形mod 6的面积== 3 如果N mod 6 == 4，则该方形mod 6的面积== 4 如果N mod 6 == 5，则该方形mod 6的面积== 1.
   由于每个给定矩形的面积是6的倍数。用这些矩形填充这些正方形是不可能的。
3. 如果N mod 6 == 0，那么我们可以用（3,6）或（6,3）填充这个方格。