Question

我正在记录物体随时间的位置和速度。我需要形成一个图形，其中X轴是连续的（时间），Y轴是对象的三个维度之一（X，Y或Z）。我将为3个轴中的每一个构建一个图形。录制一个点时，我有它的时间和位置/速度。这不是最合适的线;它需要经过每个点，并且尽可能准确地预测物体在采样之间的位置。我试图以非线性方式在记录点之间进行插值。

我不确定这种数据类型存储曲线的样子。后来我需要反转这个图表，以便我可以播放录音。我知道图是方程，我确实需要一个函数，我可以输入一个值（时间）并返回一个结果（位置）。

重申我的两部分问题：

此图表应存储为什么数据类型？
我可以使用什么算法提供时间，位置和速度？

我正在使用C＃。

Answer 1

由于您在每个时间点都知道对象的位置和速度，因此自然选择使用cubic spline插值。

具体来说，让对象在 t ₀时的位置和速度向量为 x ₀并且 v ₀，并让时间 t ₁的对应位置和速度> t ₀是 x ₁和 v ₁ 。然后有一个独特的三次多项式：

p （ t ）= at ³ + bt ² + ct + d

带衍生物：

在 ² + 2 + c

这样 p （ t ₀）= x ₀， p '（ t ₀）= v ₀， p （ t ₁）= x ₁和 p '（ t ₁）= v ₁。我们可以使用这个多项式来随时插入对象的位置和速度 t ₀≤ t ≤ t ₁选择 x （ t ）= p （ t ）和 v （ t ）= p '（ t ）。

可以求解 p的系数 a ， b ， c ， d 直接来自上述边界条件，但实际上，最简单的方法是通过 t shifting（ t - t t em> ₀）/（ t ₁ - t ₀），这样 t ₀映射到0而 t ₁映射到1.（请注意，这也需要我们重新缩放速度 v ₀ * = v ₀ /（ t ₁ - t ₀）和 v ₁ * = v 1 /（ t ₁ - t ₀）。）这给了我们四个等式：

p （0）= d = x ₀， p '（0）= c = v ₀ *， p （1）= a + b + c + d = X <子> 1 ， p '（1）= 3 a + 2 b + c = v <子> 1 *

前两个方程式直接给出系数 c 和 d ，因此我们只需求解 a 和 b 的。一点点线性代数给出了解决方案：

a = v ₀ * + v ₁ * + 2（ x ₀ - x ₁）， b = -2 v ₀ * - v ₁ * - 3（ x ₀ - x ₁）， c = v ₀ *， d = x ₀。

然后我们可以将这些值重新插入上面 p 的定义中并在 t 评估它<=（ t - t ₀）/（ t ₁ - t ₀）在 t 时获取对象的插值位置。为了获得速度，我们可以将相同的值插入 p '，在 t *进行评估，并将结果乘以（ t ₁ - t ₀）将其重新缩放回适当的时间。

由于这是Stack Overflow，所以这里有一些简单的Python代码：

def interpolate (t, t0, x0, v0, t1, x1, v1):
    # scale time so that t0 -> 0 and t1 -> 1
    timescale = t1 - t0
    t = (t - t0) / timescale
    v0 /= timescale
    v1 /= timescale

    # calculate the coefficients of the polynomial
    a = v0 + v1 + 2*(x0 - x1)
    b = -2*v0 - v1 - 3*(x0 - x1)
    c = v0
    d = x0

    # calculate position and velocity at time t
    x = ((a*t + b)*t + c)*t + d
    v = ((3*a*t + 2*b)*t + c) * timescale
    return (x, v)

（将其转换为C＃应该很简单，因为基本算法在两种语言中都是一样的。）

请注意，您可以通过将位置和速度（以及多项式系数）视为矢量，一次性在所有三个维度中进行插值，或者您可以一次只在一个维度上进行插值;插值位置和速度线性地取决于原点，因此结果两种方式相同（并且不依赖于您选择坐标轴的方式）。

构造曲线桥接图的算法给定具有位置和速度的点，其中时间轴是恒定的

1 个答案: