推导给定的2D卷积内核的逆内核

Question

有没有人知道如何计算二维滤波器的逆？

假设我有一个3x3过滤器：
0 1 0
1 1 1
0 1 0
我想发现它是相反的。使用DFT很容易。但是，我想说我想通过卷积来做到这一点。现在，这就是问题，Matlab象征性不是我的专长。假设有一个3X3反向滤波器，则意味着两者的卷积将导致：
0 0 0
0 1 0
0 0 0
问题是为此创建正确的方程组并解决它。使用符号进行操作很容易思考，但我无法做到。

有什么想法吗？感谢。

P.S。我不确定是否有一个反向过滤器，因为它的DTFT中有零。

此外，有人应该像MathOverflow一样在这个论坛中使用Latex。

Answer 1

令h [n]为1D滤波器的有限脉冲响应。这意味着它的逆滤波器意味着什么？反转不可能是FIR。

证明：对于所有ω，令H（ω）G（ω）= 1，其中H是h [n]的DTFT，G是g [n]的DTFT。如果h [n]是FIR，那么g [n]必须是IIR。

当然，有一些方法可以用FIR滤波器近似逆IIR滤波器。基本方法是自适应滤波，例如，最小均方（LMS）算法。或者只是截断IIR滤波器。不过，你仍然需要担心稳定性。

出于实际目的，您的具体问题可能没有理想的解决方案。特别是，例如，如果这是在图像处理中，并且您尝试使用FIR锐化滤波器反转FIR模糊滤波器。除非您的锐化滤镜确实非常大，否则最终图像看起来不会那么好。

编辑：令y [n] = b0 x [n-0] + b1 x [n-1] + ... + bN x [n-N]。让这个等式表征前向系统，其中y是输出，x是输入。根据定义，当输入是脉冲时，脉冲响应是输出：h [n] = b0 d [n-0] + b1 d [n-1] + ... + bN d [n-N]。该脉冲响应具有有限长度N + 1。

现在，考虑逆系统，其中x是输出，y是输入。然后通过递推方程d [n] = b0 h [n] + b1 h [n-1] + ... + bN h [n-N]来描述脉冲响应。等价地，b0 h [n] = d [n] - b1 h [n-1] - ... - bN h [n-N]。

不失一般性，假设b0和bN都是非零的。对于任何m，如果h [m]非零，则h [m + N]也非零。由于该系统具有反馈，因此其脉冲响应无限长。 QED。

因果关系并不重要。延迟的倒数是提前，反之亦然。延迟或提前都不会改变脉冲响应的有限性。向左或向右移动无限脉冲响应;它仍然是无限的。

编辑2：为了澄清，此证明与我原来的“证据”无关。一个是频域，另一个是时域。

Answer 2

在实践中，一个有用的解决方案是Wiener deconvolution http://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_deconvolution，它基本上在傅立叶空间中除以给定滤波器的频谱。通过添加软糖项来处理零：代替1 / H（w），使用H（w）/（abs（H（w））^ 2 + c）其中H（w）是滤波器的离散傅立叶变换h（x）（根据需要添加第二维），“w”应该是欧米茄。基于信号或图像的噪声水平选择常数。

Answer 3

对于可分离滤波器（即，您可以拉出水平和垂直滤波器，可以按任何顺序应用并提供与复合2-D滤波器相同的结果），您可以尝试计算逆每个人都是单独的。

滤波器H（w）的倒数是G（w）= 1 / H（w），所以一种方法是采用脉冲响应（h [n]时域系数）和逆-DFT他们。获得这样一个滤波器的解析表达式并不总是那么容易，所以你可以用数字计算它（近似于所需的精度）或者做自适应逆滤波，正如史蒂夫建议的那样。有关后一种方法的更多信息，请参阅Widrow和Stearn的Adaptive Signal Processing。

Answer 4

一种方法是使用过滤器编写卷积的矩阵表示，然后尝试查找该矩阵的一些（正规化）逆。

例如1D [1，-1]滤波器可能是存在的最简单的离散微分逼近。

其矩阵将在主对角线上有两个对角线1，在第一个对角线上有-1。

相反的是积分滤波器。无限尾迹为1s的IIR滤波器。由于矩阵的大小有限，因此实际上意味着在对角线的一侧到处都用1s填充矩阵。

Answer 5

推导给定的2D卷积内核的逆内核

这基本上是问题的概括-Deriving the Inverse Filter of Image Convolution Kernel。

问题表述

给出一个卷积核$ f \ in \ mathbb {R} ^ {m \ timesn} $找到其逆内核，$ g \ in \ mathbb {R} ^ {p \ times q} $这样$ f \ ast g = h = \ delta $。

解决方案I

可以构建卷积运算符的矩阵形式。
矩阵表单可以复制各种模式的图像过滤（独家）：

边界条件（应用于填充图像并在有效模式下应用卷积）。
- 零填充用零填充图像。
- 圆形
  使用图像的循环/周期性延续。匹配频域卷积。
- 复制
  复制边缘值（最近的邻居）。
  通常在现实世界中创建最少的文物。
- 对称
  沿边缘镜像图像。
卷积形状
- 满输出大小是最大的-$ \ left（m + p-1 \ right）\ times \ left（n + q-1 \ right）$。
- 相同
  输出大小与输入大小（“图像”）相同。
- 有效
  输出大小是图像和内核完全重叠的大小。

使用“图像过滤”时，输出大小与输入大小匹配，因此矩阵形式为正方形，并且定义了逆。
使用卷积矩阵，矩阵可能不是正方形（除非选择“相同”），因此应推导伪逆。

请注意，虽然输入矩阵应该是稀疏的，但逆矩阵不是。
而且，尽管卷积矩阵将具有特殊形式（Toeplitz忽略边界条件），但反之不会。
因此，此解决方案比下一个解决方案更准确，但同时也使用了更高的自由度（该解决方案不一定是Toeplitz形式）。

解决方案II

在此解决方案中，通过最小化以下成本函数得出逆：

$$ \ arg \ min_ {g} \ frac {1} {2} {\ left \ | f \ ast g-h \ right \ |} _ {2} ^ {2} $$

导数由：

$$ \ frac {\ partial \ frac {1} {2} {\ left \ | f \ ast g-h \ right \ |} _ {2} ^ {2}} {\ partial g} = f \ star \ left（f \ ast g-h \ right）$$

其中$ \ star $是Correlation操作。

实际上，目标函数中的卷积是在full模式下完成的（MATLAB习惯用语）。
实际上，它是完成的：

hObjFun     = @(mG) 0.5 * sum((conv2(mF, mG, 'full') - mH) .^ 2, 'all');
mObjFunGrad = conv2(conv2(mF, mG, 'full') - mH, mF(end:-1:1, end:-1:1), 'valid');

代码在mF处翻转以进行校正并使用有效（矩阵形式为Adjoint / Transpose->输出较小）。

优化问题是严格凸的，可以使用Gradient Descent轻松解决：

for ii = 1:numIteraions
    mObjFunGrad = conv2(conv2(mF, mG, 'full') - mH, mF(end:-1:1, end:-1:1), 'valid');
    mG          = mG - (stepSize * mObjFunGrad);
end

我的StackOverflow Q2080835 GitHub Repository中提供了完整的代码。

导出图像卷积核的逆滤波器

5 个答案:

推导给定的2D卷积内核的逆内核

问题表述

解决方案I

解决方案II