Question

我发现这是一种找到数字最高素因子的方法。然而，内在的黑暗神秘 - 包括我曾经读过的东西被禁止 - 改变了循环中循环的条件。

def factorize(orig) # 600851475143
  factors = Hash.new(0)
  n = orig
  i = 2
  sqi = 4
  while sqi <= n do
    if n % i == 0
      n /= i
      factors[i] = true
      puts "Found factor #{i}"
    end
    i += 1
    sqi = i**2
    puts "sqi is #{sqi}"
  end

  if (n != 1) && (n != orig)
    factors[n] = true
  end
  p factors
end

puts factorize(600851475143).keys.max

所以我看到（有点）如何找到因素。但在这些方面的位置是检查因素以确保它是素数？

我错过了什么数学见解？

由于

Answer 1

你的方法稍有不妥（稍微）。它应该是这样的：

def factorize(orig)
  factors = Hash.new(0)
  n, i, sqi = orig, 2, 4
  while sqi <= n do
    if n % i == 0
      n /= i
      factors[i] = true
      puts "Found factor #{i}"
    else
      sqi += 2 * i + 1
      i   += 1
    end

    puts "sqi is #{sqi}"
  end

  if (n != 1) && (n != orig)
    factors[n] = true
  end

  p factors
end

现在的区别在于，当i 不因素sqi时，我只会增加i（和n）。这是因为，与之前突出显示的16示例一样，一个数字可以包含任意一个素数因子的多个实例，因此我们应该继续检查一个数字，直到它不再是一个因素。

现在这个方法确保保证素数，因为它总是找到数字的最小因子（相反，它只会增加它检查的因子，如果它不再是因素，这是说同样的事情）。当然，数字中最小的因子必须是素数：

通过矛盾证明数字的最小因子是素数。

假设数字f的最小因素N 不素数。
然后f有自己，有x和y因素1 < x, y < f成立。
因此，x和y也必须是N 和的因素，x，y都是小于f！
这是一个矛盾，因为我们说f是N的最小因素。
因此，我们对f的原始假设是错误的，f必须是素数。

我通过检查循环的不变得到了这个结果，我将在适当的时候添加到这个答案。

编辑：关于不变量的注释

循环的不变量是在循环运行之前，期间和之后保持为真的谓词条件，我们可以用它来证明循环为我们提供了我们想要的答案。

对于我们的循环，我们必须跟踪一个简单的不变量，sqi = i**2只是表明sqi必须始终保持{{1}的平方值}。这个不变量的存在是为了让我们每次重新计算正方形以与n进行比较。（顺便说一下，这就是为什么我在我的方法中将其更改为i递增的原因，否则您可能会将2 * i + 1置于循环条件中。

不变量的另一部分是i*i哈希（在数学上我将其视为一组数字）是数字factors的一组因子，k

不变量的最后且最重要的部分是n * k = orig，其中i <= f是f的最小因子。（这意味着n仅在n % i = 0时，这意味着循环始终找到i = f的最小因子，这是n}的主要因素。

编写不变量只是成功的一半，我们还需要证明我们的方法始终遵循它：

不变量的第一部分很简单，因为无论何时我们更新n我们都会正确更新i，它们分别以sqi和2开头。< / LI>
第二部分同样非常简单，因为我们只添加4作为因素 i是正确的，同时我们将n % i == 0除以n，以确保从i中移除添加到k的因子
现在让我们看看不变量的一部分，它对确保列表只包含素数因子至关重要。好吧，从n开始，这是任何一个中最小的因素数字（不包括i = 2，因为它涉及素性时的尴尬）。然后我们需要确保尽可能将1增加为 late 。即当我们确信它不再是一个因素。

我们的代码仅在i不是i时增加n。如果之前保留不变量，则表示i <= f和i不是因素，因此 i < f 。因此，正确的行为是递增以使i更接近f。

这个逻辑足以暗示当i不是一个因素时，我们应该增加它，但不足以表明我们不应该总是递增i，对于我们需要下一条逻辑：如果i 因素为n，则表示 i = f ，但是，它没有告诉我们下一个最小因子是否严格大于f（正如我们在16看到的那样，下一个最小因子可能等于以前的）。所以这意味着如果它是一个因素，我们不应该增加i，因为这样做可能会让我们错过下一个最小的因素。

我希望这一点让你相信程序的正确性。也可以使用嵌套的while循环编写factorize，我觉得这可能有点简单，但它们的工作基本相同。

Answer 2

if n % i == 0检查n是否可被i整除。如果是，那么它设置factors[i] = true，如果一个数字没有因素（除了它自己和一个）;然后它是素数。

Answer 3

因素未检查以确保它是素数。这就是为什么它为orig == 32打破（给出非素因子）：

Found factor 2
sqi is 9
sqi is 16
Found factor 4
sqi is 25
{2=>true, 4=>true}
4

可以修复（同时保留相同的逻辑，即没有重大的重写），将if n % i == 0替换为while n % i == 0 do（也就是说，在可能的情况下将n除以i）：那么到时候我们如果达到复合i，它的所有主要因子在先前的迭代中都已经被“排除”了。

在这种方法中，数字是否检查了素数？

3 个答案:

编辑：关于不变量的注释