你如何找出有向图是否是单边的（对于任何一对顶点u，v，至少有一个可以从另一对中到达）？
我想你可以运行DFS或BFS，看看你是否可以到达每个顶点。如果不是，请计算转置并从同一顶点执行相同的搜索算法。如果你已经到达每个顶点至少一个，那么图是单边的吗？
显然，你可以通过分析邻接矩阵在大型运行时间内完成这项工作，但理想情况下我们希望在O（V + E）中运行
答案 0 :(得分：0)
试试these algorithms。我在大学里学到的那个是Floyd-Warshall，但它的表现并不像你想要的那么好。对于稀疏图，Johnsons's algorithm更快，但仍然是O（V * E），而不是O（V + E）。
答案 1 :(得分：0)
我不完全确定这是否正确，但我认为检查有向图是否“连接”应该足够了（请参阅下面的算法说明，找出我所说的连接方式）。如果有向图中有多个连通分量，那么它不是单边的。
证明尝试：
假设有向图有多个连通分量。为简单起见，让连接组件的数量为2，让我们调用组件C1和C2。从v中选择任意顶点C1，从w选择任何顶点C2。由于它们位于不同的连接组件中，因此从v到w或w到v没有路径，否则C1和C2将会在同一个组成部分。
对于另一种情况，假设连接了有向图。然后，对于有向图中的任意2个不同顶点x和y，存在从x到y或从y到{{1}的路径}，否则它们不会在同一个组件中。我知道这里有一点波浪状，但我并不擅长证明。
编辑：更简单的算法：
我确实认为经过修改的深度优先搜索 / 广度优先搜索应该能够做到。基本上，我们可以从任何顶点开始搜索。我们将所有可从第一个顶点到达的顶点标记为已访问。然后循环遍历所有顶点。对于任何未访问的顶点，我们进行BFS / DFS，并使用列表来跟踪我们遍历的所有未访问的顶点。如果在BFS / DFS期间，我们不访问先前BFS / DFS中任何先前访问过的顶点，那么我们可以立即断定有向图具有多个连通分量且不是单边的。否则，我们将搜索过程中获得的列表中的所有顶点标记为已访问，然后继续。
一旦我们遍历了图中的所有顶点，所有BFS / DFS都会击中一些先前访问过的顶点，我们可以得出结论图是单边的。
一些伪代码来说明这一点。我将使用深度优先搜索：
x原始的，更难处理的算法：
我们如何计算有向图是否是单边的？您可以先运行Tarjan's Strongly Connected Components algorithm并确定有向图的强连接组件。您需要稍微修改算法以将强连接组件压缩到超级转换中。这并不难，只需将同一个强连接组件中的每个顶点分配一个整数标签即可。换句话说，同一个强连通分量中的所有顶点将被1个超变量替换。 Tarjan的SCC（强连接组件）算法在// a boolean array to keep track if a given vertex is visited
// initially this is set to false
boolean[] visited
// boolean array to keep track of visited vertices for 2nd dfs onwards
boolean[] visited_two
// used for first dfs
dfs(vertex) {
visited[vertex] <- true
for each edge leading out of vertex {
dfs(next vertex)
}
}
// used for subsequent dfs
dfs_two(vertex, list_for_storing_vertices) {
// we use the visited_two array here, because the
// visited array is used to store previously visited
// vertices
visited_two[vertex] <- true
list_for_storing_vertices.append(vertex)
// return value. we return true if we encounter
// a previously visited vertex. otherwise, return false
return_value <- false
for each edge leading out of vertex {
if visited[next vertex]
return_value <- true
else if !visited_two[next_vertex]
r = dfs_two(next vertex, list_for_storing_vertices)
return_value = return_value || r
}
return return_value
}
// overall algorithm
// Returns true if the graph is unilateral. false otherwise
bool digraph_unilateral(graph) {
// Just pick any vertex. we will pick vertex 0
set all entries in `visited` array to false
dfs(0)
// then loop through all vertices. if they haven't been visited,
// we perform a dfs
for each vertex in the digraph {
if !visited[vertex] {
// reset visited_two array
set all entries in `visited_two` array to false
visited_list <- []
encountered_previously_visited <- dfs_two(vertex, visited_list)
if encountered_previously_visited {
// mark the vertices we encountered as visited
for each v in visited_list {
visited[v] <- true
}
} else {
// we did not encounter any previously visited vertex
// so all vertices we encounter on this search are in
// a distinct connected component
return false
}
}
}
return true
}
时间内运行。
在上面的步骤之后，有向图现在是非循环（无循环）。这使我们可以继续下一步。
之后，从上面对结果图执行拓扑排序。这应该给我们一个有向无环图的拓扑排序。此步骤也使用深度优先搜索实现在O(V+E)时间运行。
现在我们有拓扑排序，根据上的拓扑排序执行广度优先搜索或深度优先搜索 > Tarjan的SCC步骤后获得的>有向无环图。如果连通分量的数量是1，那么原始图是单边的（如果连通分量的数量是0，它也是单边的，但这是一个空图，因此是微不足道的）。否则，有多个组件，原始图不是单边的。此步骤也在O(V+E)时间内运行。
因此，整体算法在O(V+E)时间内运行。
<强>结论
我认为这应该是正确的，但您可能希望与其他人验证此方法。如果您在理解我的方法或实施算法时遇到任何困难，请发表评论。
希望有所帮助！
答案 2 :(得分：0)
使用Tarjan's algorithm查找牢固连接的组件。 SCC中的每个节点都可以相互访问，因此就可以到达和到达的节点而言，它们是等效的。将每个SCC折叠为一个顶点，如果原始图是单边的，则生成的DAG将是单边的。
如果DAG是整体排序，即只有一个拓扑顺序，则DAG是单方面的。如果存在从A到B的路径，那么A必须在B之前。如果存在从B到A的路径，那么B必须在A之前。您不能同时拥有两者，因为该图现在是非循环的。如果A和B之间没有路径，则它们没有顺序，并且该图至少有2个拓扑顺序-一个在B之前具有A，在A之前具有B。
检查总订单数的快速方法是使用Kahn算法进行topological sort，并检查以确保每次迭代的下一个顶点只有一个选择。
Tarjan用于查找SCC，折叠SCC的算法以及Kahn用于拓扑排序的算法都在O（V + E）时间内运行。