Question

给出两个正整数a，b（1 <= a＆lt; = 30,1＆lt; = b＆lt; = 10000000），并定义两个不可重复的集合L和R，

L = {x * y | 1 <= x <= a, 1 <= y <= b, x,y is integer}

R = {x ^ y | 1 <= x <= a, 1 <= y <= b, x,y is integer},

^是XOR操作

对于任何两个整数：A∈L，B∈R，我们将B格式化为n + 1（n是b的十进制数字）十进制数字（在B前填充0），然后将B关联到结束A并得到一个新的整数AB。

计算所有生成的整数AB的总和（如果总和超过，只返回“sum mod 1000000007”，mod表示模块化操作）

注意：算法的时间不超过3秒

我的算法非常简单：我们可以很容易地得到集合R中的最大数字，而R中的元素是0,1,2,3 ... maxXor，（元素max（ a，b）可能不在R）中，使用哈希表计算集合L. 但是当a = 30，b = 100000 时算法消耗4秒。

举个例子：

a = 2, b = 4, so

L = {1 * 1, 1 * 2, 1 * 3, 1 * 4, 2 * 1, 2 * 2, 2 * 3, 2 * 4} =  {1, 2, 3, 4, 6, 8}

R =  {1^1,1^2,1^3,1^4,2^1,2^2,2^3,2^4} =  {0, 1, 2, 3, 5, 6}

所有生成的整数AB是：

{

100, 101, 102, 103, 105, 106,

200, 201, 202, 203, 205, 206,

300, 301, 302, 303, 305, 306,

400, 401, 402, 403, 405, 406,

600, 601, 602, 603, 605, 606,

800, 801, 802, 803, 805, 806

}

所有 AB 的总和为14502

Answer 1

因此AB号可以写成10^(n+1) A + B。这意味着对所有A, B求和，总数等于

|R| 10^(n+1) Sum(A in L) + |L| Sum(B in R)

在您的示例中，

|L| = 6
|R| = 6
Sum(A in L) = 24
Sum(B in R) = 17
n = 3

当插入上述公式时给出14,502。

这会将集合大小的运行时间从二次变为线性，因此您应该会看到相当大的改进。

接下来的一点我没有完全充实，因为我没有时间，但他们觉得他们应该工作：

首先，请注意Sum(A in L)使用
进行计算是微不足道的
```
1 + 2 + .. + n = n(n-1)/2
```
如果没有L不包含重复的约束。你可以通过利用a非常小的事实来解决这个问题：使用三角数公式迭代计算总和1, .., a并使用该信息来避免多次计算产品。
对于Sum(B in R)，请注意，当您比较y和x^y时，最多lg(a)位已更改。因此，您可以将x^y s的总和分成两个总和：一个处理来自lg(a)+1的位，一个仅取决于b，另一个处理更复杂的总和来自lg(a)的位向下，取决于a和b。

编辑：OP要求我扩展如何快速计算Sum(A in L)。在以前的编辑中，本节中有一些东西，但实际上我已经坐下来完成了它，而不是随意地将它击打在我脑海中。事实证明它比我想象的要复杂得多，所以我很抱歉没有坐下来尽快完成它@tenos。

因此，我们要做的是将所有不同产品x*y的总和作为1 <= x <= a和1 <= y <= b。好吧，事实证明这很难，所以让我们从一个更简单的问题开始：给定两个整数x1, x2和x1 < x2，我们如何计算所有不同产品x1*y或{{的总和1}} x2*y？

如果我们放弃了清晰度标准，这很容易：它只是

1 <= y <= b

其中x1*Sum(b) + x2*Sum(b)表示整数Sum(j)到1的总和，并且可以使用高斯的三角数公式计算。因此，我们可以将问题简化为更简单的问题：我们如何才能找到左右两个项中出现的所有产品的总和？

如果

，两种产品是平等的

这恰好发生在x1*y1 == x2*y2，其中x1*y1 == x2*y2 == k*LCM(x1, x2)是lowest common multiple且LCM是某个整数。

所有k的总和，k为

1 <= k*LCM(x1, x2) <= x1*b

其中R(x1, x2) = LCM(x1, x2) * Sum(x1*b/LCM(x1, x2))代表“重复”。这意味着我们所有不同产品的总和R或x1*y其中x2*y是

1 <= y <= b

接下来，让我们将x1*Sum(b) + x2*Sum(b) - R(x1, x2)的定义扩展为三个变量R定义为

x1 < x2 < x3

并且类似地对于4个变量，5个变量等。然后，三个R(x1, x2, x3) = LCM(x1, x2, x3) * Sum(x1*b/LCM(x1, x2, x3))的不同产品的总和是

x1 < x2 < x3

由inclusion-exclusion principle。

所以，让我们来利用它。定义

x1*Sum(b) + x2*Sum(b) + x3*Sum(b) - R(x1, x2) - R(x1, x3) - R(x2, x3) + R(x1, x2, x3)

等。然后，所有这些总和的总和最多Sum for x = 1: 1*Sum(b) Sum for x = 2: 2*Sum(b) - R(2, 1) Sum for x = 3: 3*Sum(b) - R(3, 2) - R(3, 1) + R(3, 2, 1)是所有不同产品的总和。

编辑：@tenos把它变成了一个有用的解决方案。他注意到，由于i * Sum（b）包含许多重复，我们可以用i * sum（k ... b）替换，k = max（b / minPrimeFactor（i）+ 1，i）。

此外，当使用包含 - 排除原理时，可以修剪许多不必要的计算。例如，如果R（1,2）= NULL，则不需要计算R（1,2,3），R（1,2,4）..等等。实际上，当b非常大时，有很多R（i，.. j）= NULL。

关于数论的算法

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