Question

我正在实现传统（意味着不快速），分离图像的傅立叶变换。我知道在浮点中，等间距样本中一个sin或cos周期的总和不完全为零，并且这对于常规变换而言比使用快速变换更为严重。

该算法适用于2D双阵列并且是正确的。内部完成反转（在使用非对称公式时通过双符号标记和条件检查），而不是在结合之外。结果几乎100％像预期的那样，所以它是一个关于细节的问题：

当我执行正向变换时，将对数幅度和角度保存到图像，重新加载它们并进行逆变换，我会遇到不同类型的舍入误差和不同类型的实现公式：

F（u，v）= Sum（x = 0-> M-1）Sum（y = 0-> N-1）f（x，y）* e ^（ - i * 2 * pi * u * x / M）* e ^（ - i * 2 * pi * v * y / N）

f（x，y）= 1 / M * N *（如上所述）
F（u，v）= 1 / sqrt（M * N）*（如上所述）

f（x，y）= 1 / sqrt（M * N）*（如上所述）

所以第一个是非对称变换对，第二个是对称变换对。对于不对称对，舍入误差在图像的亮点中更多（一些像素在值范围外略微舍入（例如256））。对于对称对，误差更多地出现在图像的恒定中间区域（ no 超出值范围！）。总的来说，对称对似乎会产生更多的舍入误差。

然后，它还取决于输入：当存储在[0,255]中的图像时，舍入误差不是[0,1]中的。

所以我的问题是：如何实现最优，最准确的算法（理论上，没有代码）：非对称/对称对？ [0,255]或[0,1]中的输入值范围？在将对数的一个保存到文件之前，如何线性升级结果？

修改：

我的算法只是计算分离的非对称或对称DFT公式。使用欧拉身份将因子分解为实部和虚部，然后将它们分别作为实部和虚部进行扩展和处理：

sum_re += f_re * cos(-mode*pi*((2.0*v*y)/N)) - // mode = 1 for forward, -1
          f_im * sin(-mode*pi*((2.0*v*y)/N));  // for inverse transform
// sum_im permutated in the known way and + instead of -

将这个值组合在一起的内部cos和sin应该在我的眼中给出最低的舍入误差（与例如cos(-mode*2*pi*v*y/N)相比），因为没有多次乘法/除数显着错误的舍入超过pi几次，但只有一次。不是吗？

比例因子1/M*N或1/sqrt(M*N)在最内部总和的每次分离外后单独应用。内心更好？或者在两次分离结束时完全合并？

对于更深入的分析，我已退出input->transform->save-to-file->read-from-file->transform^-1->output工作流程，并选择直接以双精度进行比较：input->transform->transform^-1->output。

这里是现实生活704x528 8位图像的结果（delta =输入和输出实部之间的最大绝对差值）：

输入[0,1]和不对称公式：delta = 2.6609e-13（对应[0,255]范围的6.785295e-11）。
输入insde [0,1]和对称公式：delta = 2.65232e-13（对应于[0,255]范围的6.763416e-11）。
输入[0,255]和不对称公式：delta = 6.74731e-11。
输入[0,255]，对称公式：delta = 6.7871e-11。

这些并不是真正显着的差异，但是，具有非对称变换的全范围输入表现最佳。我认为16位输入值可能会变差。

但总的来说，我看到，我经验丰富的问题更多是因为在实际转换舍入错误之前，存档前（或反向）舍入错误的缩放比例。

然而，我很好奇：傅立叶变换最常用的实现是什么：对称还是非对称？通常使用哪个值范围输入：[0,1]或[0,255]？并且通常以对数标度显示的光谱：例如[0,1]输入的非对称变换后的[0，M * N]直接对数缩放到[0,255]或在线性缩放到[0,255 * M * N]之前？

Answer 1

缩放会导致舍入错误。因此，解决方案1（其缩放一次）优于解决方案2（其执行两次）。类似地，在求和之后缩放一次比在求和之前缩放所有内容更好。

您从y到0或从2*N到-N运行+N吗？在数学上它是相同的，但在后一种情况下你有一点额外的精确度。

BTW，mode在cos(-mode * stuff)做了什么？

Answer 2

您报告的错误很少，很正常，通常可以忽略。只需缩放结果并将目标间隔之外的任何结果钳制到端点。

在FFT的库实现中（即，编写为通常由不同应用程序使用的FFT例程，而不是为单个应用程序定制的），很少考虑缩放;例程通常简单地返回由算术自然缩放的数据，而不使用额外的乘法运算来调整比例。这是因为比例通常与应用无关（例如，无论比例如何，找到具有最大能量的频率）或者比例可以通过乘法运算分布并且仅执行一次（例如，而不是缩放）在正向变换和逆变换中，应用程序可以通过仅显式缩放一次来获得相同的效果。因此，由于通常不需要缩放，因此将其包含在库例程中是没有意义的。

数据缩放到的目标间隔取决于应用程序。

关于使用什么变换（对数或线性）来显示光谱的问题，我不能建议;我没有使用可视化光谱。

傅立叶变换浮点问题

2 个答案: