Question

我正在尝试使用R来估计E [u（X）]，其中u是效用函数，X是随机变量。更具体地说，我希望能够为两个随机变量X和Y排序E [u（X）]和E [u（Y）] - 只有排名很重要。

我的问题是某些sigma的u（x）= - exp（-sigma * x）＆gt; 0，这很快收敛到零。所以我有很多我期望的案例，例如E [u（X）]＆gt; E [u（Y）]，但由于它们非常接近零，我的模拟无法区分它们。

有人对我有任何建议吗？

我只对两个预期的实用程序进行排名感兴趣，因此u（x）可以被任何u.tilde（x）= a * u（x）+ b替换，其中a＆gt; 0和b可以是任何数字。

下面是一个例子，其中X和Y都是正常的（在这种情况下，我认为有一个封闭的形式解决方案，但假装X和Y有复杂的分布，我只能模拟）。

get.u <- function(sigma=1) {
    stopifnot(sigma > 0)
    utility <- function(x) {
        return(-exp(-sigma * x))
    }
    return(utility)
}

u <- get.u(sigma=1)
curve(u, from=0, to=10)  # Converges very rapidly to zero

n <- 10^4
x <- rnorm(n, 10^4, sd=10)
y <- rnorm(n, 10^4, sd=10^3)
mean(u(x)) == mean(u(y))  # Returns True (they're both 0), but I expect E[u(x)] > E[u(y)]

## An example of replacing u with a*u + b
get.scaled.u <- function(sigma=1) {
    stopifnot(sigma > 0)  # Risk averse
    utility <- function(x) {
        return(-exp(-sigma * x + sigma * 10^4))
    }
    return(utility)
}

u <- get.scaled.u(sigma=1)
mean(u(x)) > mean(u(y))  # True as desired

x <- rnorm(n, 10^4, sd=10^3)
y <- rnorm(n, 10^4, sd=2*10^3)
mean(u(x)) > mean(u(y))  # False again -- they're both -Inf

找到一种聪明的方法来扩展你正确处理这个问题的方法吗？例如，假设X和Y都有界限支持 - 如果我知道边界，我如何缩放你以保证a * u + b既不会太接近-Inf，也不会太接近于零？

编辑：我不知道多个精密包。 Rmpfr很有帮助：

library(Rmpfr)
x.precise <- mpfr(x, 100)
y.precise <- mpfr(y, 100)
mean(u(x.precise)) > mean(u(y.precise))  # True

当u（）为指数时，通过模拟估算E [u（X）]时出现问题

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