Question

我正在研究一些Matlab代码，在给定的密码系统上执行一个名为Index Calculus攻击的东西（这涉及计算离散的日志值），除了一件小事之外，我已经完成了所有这些。我不能弄清楚（在Matlab中）如何解决同余mod p的线性系统，其中p是而不是 prime。此外，这个系统有多个变量，因此，除非我遗漏了某些东西，否则中文余数定理不会起作用。

我在数学stackexchange上问了一个更详细/格式化的mathjax here的问题。我在那个链接上解决了我的问题中的问题，现在我试图找到一个实用程序，它将允许我解决以非素数为模的同余系统。我确实找到了一个包含支持模运算的求解器的套件，但模数必须是素数（here）。我也尝试逐步修改它以使用非素数，但无论使用何种方法都不起作用，因为它要求系统的所有元素都以模p进行反转。

我已经研究过使用Matlab中的函数调用MuPAD函数，但是从我的测试来看，MuPAD函数linsolve（似乎是最佳候选者）不支持非素数模数值。。另外，我已经用Maple验证了这个系统是可解的模数我感兴趣的整数（8），所以它可以完成。

更具体地说，这是我试图在MuPAD中运行的确切命令：

linsolve([0*x + 5*y + 4*z + q = 2946321, x + 7*y + 2*q = 5851213, 8*x + y + 2*q = 2563617, 10*x + 5*y + z = 10670279],[x,y,z,q], Domain = Dom::IntegerMod(8))

Error: expecting 'Domain=R', where R is a domain of category 'Cat::Field' [linsolve]

如果我将域更改为IntegerMod（23）和IntegerMod（59407），则相同的命令将返回正确的值，因此我认为8不适合，因为它不是素数。当我尝试使用上面的命令时，输出是每个23和59407作为我的域：

[x = 1 mod 23, y = 1 mod 23, z = 12 mod 23, q = 14 mod 23]

[x = 14087 mod 59407, y = 1 mod 59407, z = 14365 mod 59407, q = 37320 mod 59407]

这些答案是正确的 - x，y，z和q对应L1，L2，{{1}位于上面Math.StackExchange链接的同余系统中的{}和L3。

Answer 1

我想知道您之前是否曾尝试使用sym/linsolve和sym/solve，但可能已传入数字而非符号值。例如，这会根据您要查找的内容返回废话：

A = [0 5 4 1;1 7 0 2;8 1 0 2;10 5 1 0];
b = [2946321;5851213;2563617;10670279];
s = mod(linsolve(A,b),8)

但是，如果将数值转换为符号整数，sym/linsolve将按照有理分数保留所有内容。然后

s = mod(linsolve(sym(A),sym(b)),8)

返回预期答案

这只是使用符号数学解决系统线性系统，就像它是一个普通矩阵一样。对于大型系统而言，这可能很昂贵，但我想的不过是使用MuPAD的numeric::linsolve或linalg::matlinsolve。 sym/mod应该返回每个解决方案组件的分子的模数。如果模数和分母不至少为coprime，我相信你会收到错误。

sym/solve也可用于以类似方式解决此问题：

L = sym('L',[4,1]);
[L1,L2,L3,L4] = solve(A*L==b);
s = mod([L1;L2;L3;L4],8)

使用sym/solve或sym/linsolve的一个可能问题是，如果线性同余问题存在多个解决方案（与线性系统相对），则此方法可能无法返回所有这些解决方案。

最后，使用MuPAD函数numlib::ichrem（整数的中文余数定理），这里有一些试图获得完整解的代码：

A = [0 5 4 1;1 7 0 2;8 1 0 2;10 5 1 0];
b = [2946321;5851213;2563617;10670279];
m = 10930888;

mf = str2num(strrep(char(factor(sym(m))),'*',' '));
A = sym(A);
b = sym(b);
s = sym(zeros(length(b),length(mf)));
for i = 1:length(mf)
    s(:,i) = mod(linsolve(A,b),mf(i));
end

mstr = ['[' sprintf('%d,',mf)];
mstr(end) = ']';
r = sym(zeros(length(b),1));
for i = 1:length(b)
    sstr = char(s(i,:));
    r(i) = feval(symengine,'numlib::ichrem',sstr(9:end-2),mstr);
end
check = isequal(mod(A*r,m),b)

我不确定这些是否是您正在寻找的，但希望它可能会有所帮助。我认为将enhancement/service request与MathWorks放在一起可能是一个好主意，这样MuPAD和其他求解器将来可以更好地处理系统。

Matlab：支持非素数模的线性同余解算器？

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