具有均匀素数模数的线性同余发生器的分布

Question

线性同余生成器是一种算法，产生由重现

定义的伪随机序列

X _{n + 1} =（X _n * a + c）mod q

在某些条件下（即a，c，q，X ₀ 的值），序列满足频率测试：在任何长度为L的子序列中（L足够大）小于给定k的元素的数量＆lt; q大致为（k / q）* L.

当模q是从某个（大）区间统一选择的素数时，是否有这种事实的形式证明？否则说明：如果q是均匀随机素数且k <= q，则

P（X _n ＆lt; k）= k / q

保持（对于a，c，X ₀ 的适当值）？

Answer 1

（阅读关于这个问题的起源/动机的内容会很不错。）

根据wiki，你有一个混合同余生成器（如果我们允许c非零。）

赫尔 - 多贝尔定理说（小心;不同的变量名称）：

The period of a general mixed congruential generator is at most m, and for some choices of factor a much less than that. The mixed congruential generator will have a full period for all seed values if and only if:

• m and c are relatively prime
• a-1 is divisible by all prime factors of m
• a-1 is divisible by 4 if m is divisible by 4

这告诉我们什么？

• 最重要的是当且仅当（＆lt; - ＆gt;等价关系）
  • 如果我理解正确的话，你问的是模数值（上面：m）是否通过某种方法给出的随机性
  • 上面的定理告诉我们，对于m的每次选择，都存在c，因此RNG不会有一个完整的句号（一个不是相对素数的数字）！ / LI>
  • 没有一个完整的时间段会打破你的频率测试
  • 含义：单独使用模数/ m的信息不足以推断随机性（一般情况下;对于m的每次选择，都会有ac会破坏整个期间！）

以上不是正式的，但应该给你一个进一步分析的想法！