Question

我找到了一些关于大O表示法的参考文献，但据我所知，算法复杂度是输入数据大小的函数。

例如，如果冒泡排序的复杂性为O(n^2)，则n是输入数组的大小。正确？

但是，我如何确定具有固定输入大小并取决于输入值的算法的复杂性。例如，找到最大公约数（GCD）将如下所示：

def GCD(x, y):
    while x != y:
        if x < y:
            x, y = y - x, x
        else:
            x, y = x - y, x
    return x

这个算法的复杂性是什么？它是如何确定的？

编辑：更改了函数的名称和更正的算法名称。 ShreevatsaR，谢谢你指出来。

Answer 1

人们用大O符号快速松散地玩耍。就GCD而言，他们通常以两种方式进行：

1）你是对的，算法复杂度，因此大O符号，应该根据输入的位大小来表示，而不是根据输入的值来表示。这就是P，NP等的定义方式。假设二进制输入和任意大数（如BigNum表示）和N输入的位数，您的GCD最多需要2 ^ N个减法，每个减法需要时间O（N）来运行每个数字。数字被减去。所以它是O（N * 2 ^ N）。如果使用除法而不是减法，GCD当然可以更快地完成：O（N ^ 2）。

所以，当我们说testing primality was proved in 2002 to be done in polynomial time时，这就是复杂性的技术定义，我们的意思是多项式的位数（这是棘手的部分），而不是输入数字本身的多项式（这是简单的使用试验分区在“亚线性时间”很容易做到。）

但实际上，对于采用固定数量的整数输入的算法，讨论复杂性更方便，好像N是输入本身，而不是输入的大小。只要你清楚自己在可能含糊不清的情况下的意思，它就没有害处。

2）实际上，整数输入通常是固定大小，32位或其他，并且对它们的操作（例如加法，乘法和除法）是O（1）时间。我们在订单分析中有选择地使用这些事实。从技术上讲，如果你的GCD程序只接受最多（2 ^ 32-1）的输入，那么它是O（1）。它的运行时间有一个固定的上限。分析结束。

虽然技术上正确，但这不是一个非常有用的分析。你在真正的计算机上做的几乎任何东西都是O（1）在相同的基础上，问题的大小受到硬件的限制。

接受添加为O（1）通常更方便，因为数字是固定大小的，但忽略GCD也是O（1），假设它在[1,2 ^ 32]范围内的行为延伸无限，并在此基础上进行分析。然后用N作为两个输入的最大值，得出O（N）：O（N）减法，每个减法都是恒定时间。

再次，一旦你知道参考条款是什么，这一点并不含糊，但要注意错误地将我给出的Euclid算法的第一次分析与除法O（N ^ 2）进行比较，并将此算法与减法算法进行分析，上）。 N在每个中都不相同，减法不更快; - ）

Answer 2

Big-O表示法应指定测量内容。

例如，排序算法的Big-O表示法通常用于衡量比较次数。

可以衡量您的GCD示例，将x和y的值与执行的指令数进行比较。让我们仔细看看：

def GCD(x, y):
    while x != y:               # 1
        if x < y:               # 2
            x, y = y - x, x     # 3
        else:                   # 4
            x, y = x - y, x     # 5
    return x                    # 6

从内到外工作。

无论x和y的值如何，步骤3和5始终会接受一条指令。因此，第2步的if语句将始终采用两条指令。

更难的问题是第1步。每次迭代时，x或y都会被较小的值降低。假设x > y。将发生以下两件事之一：

如果它开始x % y == 0，则循环将执行(x / y) - 1次，程序将停止。
否则x会在(x / y)小于y之前减少x次，程序将会继续。

您可以轻松衡量任何给定y和z的指令数量。您可以轻松地显示，对于给定的数字z - 1，您永远不会需要超过2 * (z-1)次删除或gcd(z, 1)指令。（想想{{1}}。）

Answer 3

输入大小是数字x和y的大小之和（例如，数字中有多少位数）

Answer 4

Big O复杂性是最坏的情况渐近运行时行为。它不一定取决于特定算法的输入大小（输入数量） - 尽管通常情况就是如此。换句话说，它是描述运行时的限制函数，因为输入被带到无穷大。

在您的情况下，如果x或y是无界的，渐近运行时也是如此。如果没有，请考虑运行时间，如果x = 1，y = Int32.Max？

输入的算法复杂度是固定大小的

4 个答案: