Dijkstra的算法是否适用，即使只有一个负权重边缘？

Question

如果有向图只有一个负权重边并且不包含负权重周期，Dijkstra的算法会起作用吗？

Answer 1

没有。 Dijkstra的算法很贪婪。它假定路径权重严格增加。

请考虑以下图表。 S→A→E是最佳的，但Dijkstra将返回S→B→E。

Answer 2

不一定。在this earlier answer中，我举了一个没有负周期和一个负边的图的例子，其中Dijkstra的算法没有产生正确的答案。因此，在这种情况下，Dijkstra的算法并不总是有效。

希望这有帮助！

Answer 3

没有。 Dijkstra是贪心算法。一旦它添加了边缘，它就永远不会回头。

Answer 4

没有。考虑以下简单的反例，只有3个节点，S（开始），A和B。

w(S, A) = 1
w(S, B) = 2
w(B, A) = -2

该算法将首先确定A的距离（费用1），但通过B（费用0）去那里会更便宜。

Answer 5

由于Dijkstra的算法是贪婪的，因此它不适用于负权重。为此需要一些其他算法，如Bellman-Ford算法。

但是，如果你仍想使用Dijkstra的算法，那就有一种已知的方法。在这种方法中，您需要重新分配成本，以便所有成本都变为正值。

这是：

假设从u到v都存在边缘。边缘的成本是成本（u，v）。

u(d(u))------>v(d(v))

定义：

new_cost(u,v) = cost(u,v) + d(u) - d(v)

这保证是正面的，

d(v) < d(u) + cost(u,v)

现在，我们可以正常应用Dijkstra算法，只有差别在新路径的成本中，这将是（比如路径在s'和t'之间）

= original cost of the same path + d(s') - d(t')

Answer 6

您无法将Dijkstra算法直接应用于具有负边缘的图形，因为其他一些答案已正确记录。

如果原始图形中没有负循环，有一种方法可以重新称量图形边缘。这与Johnson's algorithm中使用的技术相同，首先运行Bellman-Ford算法的一个实例，以获得每个顶点h(v)的权重v。然后，您将每个边w(u,v)修改为w(u,v) + h(u) − h(v)，保证为正，这样您最终得到一个只有正边的新图，您可以在其上运行Dijkstra算法。

第十五节。来自Coursera Algorithms class的解释比我好得多。

将该技术应用于单一来源最短路径问题的唯一问题是，使用Bellman-Ford重新加权需要O(mn)时间，这比Dijkstra的O(m log(n))要慢。所以你最好只运行Bellman-Ford作为原始图表。

Answer 7

只要您从具有该负边缘的节点开始作为输出边缘，Dijkstra的算法将使用单个负边缘。
通过从图的最小值边开始，您不能再通过考虑其他边权重来降低总成本（这就是Dijkstra算法的工作原理）

Answer 8

不，众所周知，Dijkstras算法无法使用负权重。 如果您需要负权重，请使用Bellman-Ford算法。

Answer 9

为什么Dijkstra会失败呢

因为最短路径应该是：距离（s，vi）≤距离（s，vk）

例如，我们有这个图：

A ----＆gt; B，成本为2 B ---＆gt; C，成本为负4，条件为False，因为从A到B的距离>距离B到C