Question

我有一个像这样的大矩阵M

M=[A1, Z,  Z,  Z,  Z,  Z ; 
   Z,  A2, Z,  Z,  Z,  Z ; 
   Z,  Z,  A3, Z,  Z,  Z ; 
   Z,  Z,  Z,  A4, Z,  Z ; 
   Z,  Z,  Z,  Z,  A5, Z ; 
   Z,  Z,  Z,  Z,  Z,  A6];

A1,A2,A3,A4,A5,A6是4×4实对称矩阵，Z=zeros(4,4)。

当矩阵M中有数百万A时，如何计算A1,A2,A3,..., An的倒数？

我知道我可以将逆矩阵简化为

invM=[B1, Z,  Z,  Z,  Z,  Z 
      Z,  B2, Z,  Z,  Z,  Z 
      Z,  Z,  B3, Z,  Z,  Z 
      Z,  Z,  Z,  B4, Z,  Z 
      Z,  Z,  Z,  Z,  B5, Z 
      Z,  Z,  Z,  Z,  Z,  B6];

B1,B2,B3,B4,B5,B6是A1,A2,A3,A4,A5,A6的逆矩阵。但是当有很多B时，如何进行批处理？

提前谢谢。

Answer 1

坦率地说，我不会为逆转而烦恼。您可能根本不需要逆变器，而是需要产品

x(n) = inv(A(n))*b(n)

其中b是等式Ax = b中的解向量。

这就是为什么这很重要：

clc

N = 4;    % Size of each A
m = 300;  % Amount of matrices

% Create sparse, block diagonal matrix, and a solution vector
C = cellfun(@(~)rand(4), cell(m,1), 'UniformOutput', false);
A = sparse(blkdiag(C{:}));
b = randn(m*N,1);


% Block processing: use inv()
tic
for ii = 1:1e3
    for jj = 1:m
        inds = (1:4) + 4*(jj-1);
        inv(A(inds,inds)) * b(inds); %#ok<MINV>
    end    
end
toc

% Block processing: use mldivide()
tic
for ii = 1:1e3
    for jj = 1:m
        inds = (1:4) + 4*(jj-1);
        A(inds,inds) \ b(inds);
    end
end
toc

% All in one go: use inv()
tic
for ii = 1:1e3
    inv(A)*b;
end
toc

% All in one go: use mldivide()
tic
for ii = 1:1e3
    A\b;
end
toc

结果：

Elapsed time is 4.740024 seconds.  % Block processing, with inv()
Elapsed time is 3.587495 seconds.  % Block processing, with mldivide()
Elapsed time is 69.482007 seconds. % All at once, with inv()
Elapsed time is 0.319414 seconds.  % All at once, with mldivide()

现在，我的电脑与大多数电脑有点不同，所以你可能想重新做这个测试。但这些比率大致相同 - 计算明确的反转只需要比计算产品x = inv(A)*b花费更多的时间。

如果在使用mldivide时内存不足，则不应该遍历所有单个矩阵，而是将问题分成更大的块。像这样：

chunkSize = N*100;
x = zeros(size(A,1),1);
for ii = 1:N*m/chunkSize
    inds = (1:chunkSize) + chunkSize*(ii-1);
    x(inds) = A(inds,inds) \ b(inds);
end

Answer 2

对角矩阵的倒数仅为B = 1 / A.

这里有证据：http://www.proofwiki.org/wiki/Inverse_of_Diagonal_Matrix

在matlab中计算对角块状矩阵的逆矩阵

2 个答案: