在以任意角度旋转后，如何在X轴上找到多边形的最小投影？

Question

考虑到2D多边形的顶点，我必须在X轴上找到多边形的最小可能投影。

我被允许以任意角度旋转多边形。

首先我想到了最小的情况，至少有一个多边形的边将与X轴对齐，但事实并非如此。

多边形可以是凹面或凸面。

Answer 1

您正在寻找的是“旋转卡尺算法”。

https://en.wikipedia.org/wiki/Rotating_calipers

关于此算法的维基百科页面甚至为您的问题提供了伪代码。

https://en.wikipedia.org/wiki/Rotating_calipers#Minimum_width_of_a_convex_polygon

Answer 2

如评论中所述，如果用凸包替换多边形，答案将不会发生变化。所以我们认为多边形已经是凸的。现在假设我们找到了最小角度。这意味着我们有一条平行于Y的条带限制身体。很容易看出多边形边之一可以位于条带边界上（如果不是，我们可以稍微旋转主体而不增加条带宽度）。

总结一下，我们得到一个算法：计算凸包，然后为船体的每一侧选择一个角度，使其与Y平行并测试宽度。拿分钟。 0

Answer 3

设X（i，alpha）为旋转角度α后的顶点i的X- coodrinate。

我们总是假设-PI＆lt; = alpha＆lt; = PI。

如果X（i，alpha）> = X（j，alpha），则对于所有j，令i =最右边（alpha）。如果除了一个之外的所有j，则i = second_rightmost（alpha），如果X（i，alpha）> = X（j，alpha）。类似地定义leftmost（）和second_leftmost（）。

让我们证明以下内容：如果X（i，α）> = X（j，α），并且X（i，β）> = X（j，β），并且β-α<1。对于[α，β]中的所有γ，PI，然后X（i，γ）> = X（j，γ）。实际上，X（i，alpha）= x [i] * cos（alpha）-y [i] * sin（alpha），其中（x [i]，y [i]）是顶点i的初始位置。因此，X（i，a）-X（j，a）= c1 * cos（a）-c2 * sin（a），其中c1 = x [i] -x [j]，c2 = y [i] - Y [j]的。设f（a）= X（i，a）-Y（i，a）。函数f是连续的，并且当tan（a）= c1 / c2时改变其符号，即a = atan2（c1，c2）+ PI * n。如果是beta-alpha

现在我们有：

• 如果最右边（alpha）=最右边（beta）和beta-alpha＆lt; PI，然后最右边（x）=最右边（alpha）所有alpha＆lt; x＆lt;测试
• 如果i =最右边（alpha）= second_rightmost（beta），并且j =最右边（beta）= second_rightmost（alpha），并且beta-alpha＆lt; PI，然后对于alpha和beta之间的所有x，rightnost（x）是i或j，并且变化点是atan2（y [i] -y [j]，x [i] -x [j]）。

这足以通过二进制搜索获得哪个点是最右边的间隔。通过角度的符号反转，我们得到最左边的点间隔。由于我们知道每个点最左边的哪个间隔，并且每个点都是最右边的，我们可以计算间隔之间边界处的值，并选择最小值。