Question

如何用R：A X = B？

求解非方形线性系统

（在系统没有解决方案或无限多解决方案的情况下）

示例：

A=matrix(c(0,1,-2,3,5,-3,1,-2,5,-2,-1,1),3,4,T)
B=matrix(c(-17,28,11),3,1,T)

A
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    0    1   -2    3
[2,]    5   -3    1   -2
[3,]    5   -2   -1    1


B
     [,1]
[1,]  -17
[2,]   28
[3,]   11

Answer 1

如果矩阵A的行数多于列数，则应使用最小二乘法。

如果矩阵A的行数少于列数，则应执行奇异值分解。每种算法都尽力使用假设为您提供解决方案。

这是一个链接，显示如何使用SVD作为解算器：

http://www.ecse.rpi.edu/~qji/CV/svd_review.pdf

让我们将它应用于您的问题并查看它是否有效：

您的输入矩阵A和已知的RHS向量B：

> A=matrix(c(0,1,-2,3,5,-3,1,-2,5,-2,-1,1),3,4,T)
> B=matrix(c(-17,28,11),3,1,T)
> A
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    0    1   -2    3
[2,]    5   -3    1   -2
[3,]    5   -2   -1    1
> B
     [,1]
[1,]  -17
[2,]   28
[3,]   11

让我们分解你的A矩阵：

> asvd = svd(A)
> asvd
$d
[1] 8.007081e+00 4.459446e+00 4.022656e-16

$u
           [,1]       [,2]       [,3]
[1,] -0.1295469 -0.8061540  0.5773503
[2,]  0.7629233  0.2908861  0.5773503
[3,]  0.6333764 -0.5152679 -0.5773503

$v
            [,1]       [,2]       [,3]
[1,]  0.87191556 -0.2515803 -0.1764323
[2,] -0.46022634 -0.1453716 -0.4694190
[3,]  0.04853711  0.5423235  0.6394484
[4,] -0.15999723 -0.7883272  0.5827720

> adiag = diag(1/asvd$d)
> adiag
          [,1]      [,2]        [,3]
[1,] 0.1248895 0.0000000 0.00000e+00
[2,] 0.0000000 0.2242431 0.00000e+00
[3,] 0.0000000 0.0000000 2.48592e+15

这是关键：d中的第三个特征值非常小;相反，adiag中的对角元素非常大。在求解之前，将其设置为零：

> adiag[3,3] = 0
> adiag
          [,1]      [,2] [,3]
[1,] 0.1248895 0.0000000    0
[2,] 0.0000000 0.2242431    0
[3,] 0.0000000 0.0000000    0

现在让我们计算解决方案（参见上面给出的链接中的幻灯片16）：

> solution = asvd$v %*% adiag %*% t(asvd$u) %*% B
> solution
          [,1]
[1,]  2.411765
[2,] -2.282353
[3,]  2.152941
[4,] -3.470588

现在我们有了一个解决方案，让我们替换它，看看它是否给了我们相同的B：

> check = A %*% solution
> check
     [,1]
[1,]  -17
[2,]   28
[3,]   11

这是你开始的B方，所以我认为我们很好。

这是来自AMS的另一个不错的SVD讨论：

http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-svd

Answer 2

目标是解决 Ax = b

其中 A p q ， x q < em> 1 和 b 1 1 x x 给定 A 和 b 。

方法1：广义逆：Moore-Penrose https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_inverse

乘以等式的两边，我们得到

A＆＃39; Ax = A＆＃39; B'/强>

其中 A＆＃39; 是 A 的转置。请注意，现在 q 矩阵 A＆＃39; A q 。现在解决这个问题的一种方法是将方程的两边乘以 A＆＃39; A 的倒数。这给了，

x =（A＆＃39; A）^ { - 1} A＆＃39; B'/强>

这是广义逆的背后的理论。这里 G =（A＆＃39; A）^ { - 1} A＆＃39; 是 A 的伪逆。

library(MASS) ginv(A) %*% B # [,1] #[1,] 2.411765 #[2,] -2.282353 #[3,] 2.152941 #[4,] -3.470588

方法2：使用SVD的广义逆。

@duffymo使用SVD获得A的伪逆。

但是，svd(A)$d的最后一个元素可能不会像此示例中那么小。所以，可能不应该按原样使用该方法。这是 A 的最后一个元素都不接近零的示例。

A <- as.matrix(iris[11:13, -5]) A # Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width # 11 5.4 3.7 1.5 0.2 # 12 4.8 3.4 1.6 0.2 # 13 4.8 3.0 1.4 0.1 svd(A)$d # [1] 10.7820526 0.2630862 0.1677126

一种选择是在cor(A)
中看作奇异值
svd(cor(A))$d # [1] 2.904194e+00 1.095806e+00 1.876146e-16 1.155796e-17

现在，很明显只存在两个大的奇异值。所以，现在可以在A上应用svd来获得伪逆，如下所示。

svda <- svd(A) G = svda$v[, 1:2] %*% diag(1/svda$d[1:2]) %*% t(svda$u[, 1:2]) # to get x G %*% B

用R求解非方形线性系统

2 个答案: