我正在开发一种解决 Ax = b 的算法，其中 A 和 b 已知。
有两种方法可以做到这一点 x = A -1 b 或使用Cholesky。我知道矩阵将始终是正方形和正定的，尽管det（ A ）可能为零。在极少数情况下，我可以忽略它。但是从计算的角度和效率来看，创建一个效率太低的逆矩阵呢？
答案 0 :(得分：7)
一般来说，你总是想要使用求解器;实际的求解器应该以与逆相乘的速度运行。与进行分解相比，计算逆矩阵不仅效率低，使用逆矩阵具有分解/求解器方法避免的精度问题。
如果你有一个对称矩阵，Cholesky decomposition是一个合理的选择。密切相关的LDL decomposition具有可比较的精确度，同时也避免了对平方根的需要。
如果矩阵不对称，则不能使用Cholesky或LDL分解 - 请改用LU decomposition方法。
答案 1 :(得分：6)
对于大型矩阵，是的，逆效率非常低。然而，特殊属性，例如矩阵是下三角形，使得逆变得更容易计算。
在数值分析中，Ax = b的最典型解是A的LU分解（LUx = b），然后求解y的Ly = b和x的Ux = y。
对于更稳定的方法，考虑使用QR分解，其中Q具有Q ^ T * Q = I的特殊属性，因此Rx = Q ^ Tb其中R是上三角形（只有一个后向求解而不是前向然后用LU解决。
其他特殊属性，例如对称矩阵（Cholesky）或带状（高斯）使某些求解器优于另一个。
始终了解计算中的floating point错误。
我可以补充一点，迭代求解器也是解决系统的常用方法。 Conguate梯度法是最常用的，适用于稀疏矩阵。雅可比和高斯 - 赛德尔对于对角占主导地位且稀疏的矩阵是有益的。