Question

我需要计算一个大矩阵（约1000 * 1000甚至更多）的特征值和特征向量。 Matlab的工作速度非常快，但并不能保证准确性。我需要这个非常准确（约1e-06错误是可以的）并且在合理的时间内（一两个小时没问题）。

我的矩阵是对称的，非常稀疏。确切的值是：在对角线上，在主对角线下方的对角线上，以及在它上方的对角线上。例如：

Example Matrix http://img692.imageshack.us/img692/2269/zb2u.png

我该怎么做？ C ++对我来说最方便。

Answer 1

MATLAB无法保证准确性

我觉得这个说法不合理。基于什么理由，您可以找到比MATLAB高度精炼的计算算法更精确的实现？

AND ...使用MATLAB的eig，以下计算时间不到半秒：

%// Generate the input matrix
X = ones(1000);
A = triu(X, -1) + tril(X, 1) - X;

%// Compute eigenvalues
v = eig(A);

很快就好了！

我需要这个非常准确（约1e-06错误就可以了）

请记住，精确求解特征值与寻找特征多项式的根有关。这个特定的1000x1000矩阵非常 ill-conditioned：

>> cond(A)

ans =
    1.6551e+003

A general rule of thumb是条件数为10 ^k的情况，您可能会损失高达 k 的精度数字（在由于算术方法的精度损失，数值方法会丢失的顶部。）

所以在你的情况下，我希望结果准确到10 ^-3的近似误差。

Answer 2

如果您不反对使用第三方库，我使用Armadillo线性代数库取得了巨大成功。

对于下面的示例，arma是他们喜欢使用的命名空间，vec是一个向量，mat是一个矩阵。

arma::vec getEigenValues(arma::mat M) {
    return arma::eig_sym(M);
}

您也可以将数据直接序列化为MATLAB，反之亦然。

Answer 3

您的系统是tridiagonal和（对称）Toeplitz matrix。我猜想eigen和Matlab的eig有特殊情况来处理这样的矩阵。在这种情况下有closed-form solution for the eigenvalues（reference (PDF)）。在Matlab中你的矩阵就是这样：

n = size(A,1);
k = (1:n).';
v = 1-2*cos(pi*k./(n+1));

这可以通过注意特征值以1为中心进一步优化，因此只需计算其中一半：

n = size(A,1);
if mod(n,2) == 0
    k = (1:n/2).';
    u = 2*cos(pi*k./(n+1));
    v = 1+[u;-u];
else
    k = (1:(n-1)/2).';
    u = 2*cos(pi*k./(n+1));
    v = 1+[u;0;-u];
end

我不确定如何使用简单的代码获得更快更准确的效果（除了使用特征向量和优化执行细化步骤之外）。上面应该能够非常容易地翻译成C ++（或者使用Matlab的codgen生成使用它或eig的C / C ++代码。但是，你的矩阵仍然是病态的。请记住，准确性的估计是最坏的情况。

如何快速准确地获得特征值和特征向量？

3 个答案: