Fiege Fiat Shamir关于二次残留的问题

Question

我目前正在研究Fiege-Fiat Shamir并且遇到了二次残留。我理解我的想法，但我不知道如何计算它们，例如我将如何计算

v   |  x^2 = v mod 21  |   x =?
___________________________________
1     x^2 = 1 mod 21    1, 8, 13, 20
4     x^2 = 4 mod 21    2, 5, 16
7     x^2 = 7 mod 21    7, 14
9     x^2 = 9 mod 21    3, 18
15    x^2 = 15 mod 21   6, 15
16    x^2 = 16 mod 21   4, 10, 11, 17
18    x^2 = 18 mod 21   9, 12

我不明白列x =怎么样？计算。任何人都可以帮我解释一下这个方法吗？

Answer 1

右侧列显示小于21（模数）的正整数，其二次剩余量等于左侧列中的值。因此，例如，整数1, 8, 13和20都具有等于1模21的二次余数。这意味着它们的方块与1 modulo 21一致。例如，

8 * 8 = 64 = 63 + 1 = 21 * 3 + 1 =. 0 + 1 mod 21 =. 1 mod 21

我使用=.代表一致性模21。类似地，

13 * 13 = 169 = 168 + 1 = 21 * 8 + 1 =. 0 + 1 mod 21 =. 1 mod 21

和

20 * 20 = 400 = 399 + 1 = 21 * 19 + 1 =. 0 + 1 mod 21 =. 1 mod 21.

查找这些数字称为查找平方根mod n。您可以使用Chinese Remainder Theorem找到它们（假设您可以计算模数）。