Question

我正在尝试为以下问题找到有效的解决方案：

问题：假设我有一些任务（A，A，B，B，C），我有一些人可以执行一项或多项任务：

person1：A，B（1人可以执行任务A或任务B）
person2：A，C
person3：A
person4：B，C
person5：A，B

是否有可能将我的所有任务都交给这些人？一个人只能完成一项任务。

可能有多种解决方案，但我只想知道是否有解决方案。

我第一次有效地解决这个问题的尝试是：

如果一个人只能完成一项任务，则将该任务分配给该人
如果一项任务需要进行n次，并且有n个人可以做这项任务，将此任务分配给那些人。

这足以解决上述问题。

2人可以做B，B需要做两次。
- 剩下的任务：A，A，C
- 留下的人：[A，C]，[A]，[B，C]
2个人可以做A.
- 剩下的任务：C
- 留下的人：[B，C]

但这还不足以解决更复杂的问题，例如：工作：IGGGFFDDCCBBB 人数： ABCDEFG CEI BEI CEFGI CEGI ADGI CEGI CI ADG BEI DI BCDEFI ABDF ABEFG BCEGI ACDI BD ABE BCDEFGI

有解决这个问题的有效方法吗？我可以用深度优先搜索算法来解决这个问题，但我想知道我是否可以在多项式时间内解决这个问题？我不禁相信这是一个众所周知的问题，但我一直无法在谷歌上找到它。

感谢您阅读：）

Answer 1

有效解决此问题的一种方法是将其表述为maximum flow problem。

在人员和他们可以执行的任务之间添加边缘（容量1）。

还在开始和每个人之间添加边缘（容量1）

任务和目的地之间的边缘（容量=需要完成任务的次数）。

使用NetworkX的示例Python代码：

import networkx as nx
from collections import Counter

jobs = 'IGGGFFDDCCBBB'
people = 'ABCDEFG CEI BEI CEFGI CEGI ADGI CEGI CI ADG BEI DI BCDEFI ABDF ABEFG BCEGI ACDI BD ABE BCDEFGI'

G=nx.DiGraph()
for person,tasks in enumerate(people.split()):
    P = 'person'+str(person)
    G.add_edge('start',P,capacity=1.0) # One person can do one thing
    for task in tasks:
        G.add_edge(P,'task'+task,capacity=1.0) # This person can do this task

C = Counter(jobs)
for task,count in C.items():
    G.add_edge('task'+task,'end',capacity=count) # Task appears count times in our job list

print nx.max_flow(G,'start','end') >= len(jobs)

Answer 2

是的，有一个有效的算法。这是最大二分匹配问题的一个实例。你所做的就是创建一个二分图，其中节点是人和任务，并且每个人都有一条边连接他们能够执行的每个任务。将人员分配给任务将对应于此图表的匹配。

此算法并非完全无关紧要，但可以高效执行，例如： http://www.cs.cmu.edu/~ckingsf/bioinfo-lectures/matching.pdf

算法：将n个任务分配给k＆n; n个人，每个人都可以执行这些任务的子集

2 个答案: