带有n个人和k个目的地的图表

Question

在连线图中，有饥饿人群站立的n个点。每个饥饿的人都想去图中的一家餐厅。每个人的行程距离应在1公里范围内。餐厅不能超过CEILING [n / k]客人。

如果这些饥肠辘辘的人和这个地区的餐馆有分，是否有一个有效的算法在多项式时间运行，告诉每个客人是否可以容纳（如真或假）？

这让我想起了旅行商问题，所以它只是它的修改版本吗？

Answer 1

这是二分图上匹配问题的一个示例。这比旅行商问题更容易解决，可以在O（（n + k）^ 3）中完成。

有两个子问题：

1. 查找哪些人可以到达每家餐馆
2. 了解如何将人与餐馆相匹配以避免超出限制

到达餐馆

可以使用例如Floyd-Warshall algorithm计算O（n ^ 3）中任意一对点之间的最短路径。

允许的匹配是距离小于1 km的连接。

将人与餐馆匹配

这个匹配问题可以通过构造图形然后求解最大流量来解决。

适当的图表是为每个人和每个餐厅提供源节点，汇聚节点和节点。

1. 将来源连接到容量为1
的每个人
2. 每个人在1公里范围内连接每个人，容量为1
3. 以容量Ceil（n / k）将每个餐厅连接到汇聚节点。

然后计算通过此图表的最大流量。当且仅当最大流量为n时，每个客人都可以入住。

有许多algorithms来计算最大流量。一个例子是push-relabel，复杂度为O（V ^ 3），其中V是顶点数（在这个问题中V = n + k + 2）。