Question

问题陈述

我们有一个雇主想要采访N人，因此会有N个面试时段。每个人都有自由忙碌的时间表。给出一个算法，如果可能的话，将N个人调度到N个插槽中，如果不可能，则返回标志/错误/等。什么是最快的运行时复杂性？

我的方法到目前为止

天真：有N！安排N人的方法。浏览所有这些，对于每个排列，检查它是否可行。 O（n！）

回溯：

寻找任何只能有1个人的面试时段。安排此人，将其从候选人列表中删除并删除该插槽。
寻找任何只能进入1个位置的候选人。安排此人，将其从候选人列表中删除并删除该插槽。
重复1＆amp; 2直到没有更多这样的组合。
选择一个人，将他们随机安排到他们的一个可用插槽中。记住这个操作。
重复1,2,3，直到我们有一个时间表或存在无法解决的冲突。如果我们有时间表，请将其退回。如果存在无法解决的冲突，请回溯。

这是O（n！）最糟糕的情况，我认为 - 这不是更好。

可能有D.P.解决方案 - 但我还没有看到它。

其他想法

问题可以用NxN矩阵表示，其中行是“槽”，列是“人”，值为“1”表示空闲，“0”表示忙。然后，我们在这个矩阵中寻找一个行列交换的Identity Matrix。步骤1＆amp; 2正在寻找只有一个“1”的行或列。（如果矩阵的秩是= N，那表示存在解决方案。但相反的情况并不成立）另一种看待它的方法是将矩阵视为未加权的有向图边缘矩阵。然后，每个节点代表1个候选和1个时隙。然后我们寻找一组边，以便图中的每个节点都有一个输出边和一个输入边。或者，对于2x节点，它将是一个二分图。

矩阵示例：

Answer 1

正如您所指出的那样，问题等同于在二分图中找到最大匹配的问题（一组顶点是人的集合，另一组是插槽，一个人之间存在边缘如果此人可用于此插槽，则为一个插槽。）

使用Hopcroft-Karp algorithm可以解决此问题。

复杂性O（n ^（5/2））在最坏的情况下，如果图形稀疏则更好。

Answer 2

对于约束规划方法，它可以以不同的方式建模，例如使用矩阵方法和基于集合的方法。

基于集合的方法在高级CP语言MiniZinc中显示如下。 s是每个时段可用的人（使用set notation）;决策变量是数组x（每次都应分配给哪个人）。

include "globals.mzn"; 
int: n = 4;

% free persons per time slot
array[1..n] of set of int: s =  
[{1,2,3,4},
 {2,3},
 {1,4},
 {1,4}];


% decision variables
% the assignment of persons to a slot (appointment number 1..n)
array[1..n] of var 1..n: x;

solve satisfy;

constraint
  % ensure that the appointed person for the time slot is free
  forall(i in 1..n) (
    x[i] in s[i]
  )
  /\ % ensure that each person get a distinct time slot
  alldifferent(x)
;

output [ show(x) ];

该模型输出这4种解决方案（0.5ms），例如时间1被分配给人3等。

x: [3, 2, 4, 1]
----------
x: [2, 3, 4, 1]
----------
x: [3, 2, 1, 4]
----------
x: [2, 3, 1, 4]

MiniZinc模型在这里：appointment_scheduling_set.mzn

矩阵方法模型在这里（没有输出部分）并使用标准的整数编程方法：appointment_scheduling.mzn。

int: n = 4;

% rows are time slots
% columns are people
array[1..n, 1..n] of int: m = array2d(1..n, 1..n,
[
1, 1, 1, 1,
0, 1, 1, 0,
1, 0, 0, 1,
1, 0, 0, 1,
]);

% decision variables
% the assignment of persons to a slot (appointment number 1..n)
array[1..n, 1..n] of var 0..1: x;

solve satisfy;

constraint
  forall(i in 1..n) (
    % ensure a free slot
    sum([m[i,j]*x[i,j] | j in 1..n]) = 1

    /\ % ensure one assignment per slot and per person
    sum([x[i,j] | j in 1..n]) = 1
    /\
    sum([x[j,i] | j in 1..n]) = 1
  )
;

此模型的解决方案是相同的，尽管以另一种（并且更详细）的方式呈现，并且 - 当它发生时 - 与基于集合的方法的顺序相同

slot 1: 3
slot 2: 2
slot 3: 4
slot 4: 1
----------
slot 1: 2
slot 2: 3
slot 3: 4
slot 4: 1
----------
slot 1: 3
slot 2: 2
slot 3: 1
slot 4: 4
----------
slot 1: 2
slot 2: 3
slot 3: 1
slot 4: 4

Answer 3

这是Maximum Bipartite Matching problem。

根据图表的密度，最快的解决方案可能是Hopcroft-Karp algorithm，它最多运行时间为O（N ^（5/2）），但可能要快得多。

Answer 4

我相信您可以使用network flows。

为候选人u_i创建一个顶点i，为广告v_j创建一个顶点j。
创建一个源节点s并将s的（定向）边缘放置到容量为1的每个u_i。
制作汇聚节点t，并将每个v_j的边缘放置到容量为1的t。
如果候选人u_i可以在v_j位置进行采访，则可以将i的优势放到j。
我们有O(N)个顶点和O(N^2)条边，最大可能流程为N。
使用Ford-Fulkerson algorithm查找最大流量，O(E*f)需要E，其中f是边数，O(N^3)是最大流量的值，所以它需要N。
如果最大流量为(u_i,v_j)，那么我们会有一个时间表：如果边i的流量为1，那么我们会在广告位j中与候选{{1}}进行对话，否则这是不可能的。

通过积分流定理，最大流量将在边缘上具有整数流量，即0或1，因此我们确实有一个有效的时间表。

预约调度算法（N人有N个自由忙位，约束满足）

4 个答案: