循环的运行时间呈指数衰减？

Question

其中n是函数的输入可以是任何整数。

i = n, total = 0; 
while (i > 0) {      
 for (j=0; j<i; j++) 
   for (k=0; k<i; k++) 
     total++;      
 i = i/4; 
} 

这个功能的时间复杂度是多少？

Answer 1

考虑这个问题的一种方法是独立查看循环。

这个内循环嵌套：

for (j=0; j<i; j++) 
   for (k=0; k<i; k++) 
     total++;

将执行总共Θ（i ² ）运算，因为每个循环独立运行i次。

现在，让我们看一下外循环：

while (i > 0) {      
    /* do Theta(i^2) work */   
    i = i/4; 
} 

这个循环总共最多运行1 + log ₄ i次，因为在每次迭代时我被减少1/4，这只能发生1 + log < sub> 4 i次，然后我降到零。那么，问题是将完成多少工作。

解决此问题的一种方法是为完成的总工作编写一个简单的递归关系。我们可以将循环视为尾递归函数，其中每次迭代都执行Θ（i ² ），然后对大小为4的子问题进行递归调用。这会导致这种情况发生：

  

T（n）= T（n / 4）+Θ（n ² ）。

应用主定理，我们看到a = 1，b = 4，c = 2.由于log _b a = log ₄ 1 = 0和0 ＆LT; c，运行时求解为Θ的Master Theorem says (by Case 3)（n ² ）。因此，完成的总工作是Θ（n ² ）。

这是考虑这一点的另一种方式。循环的第一次迭代确实n ² 工作。接下来做（n / 4） ² = n ² / 16工作。接下来做（n / 64） ² = n ² / 256工作。实际上，循环的迭代x将执行n ² / 16 ^x 工作。因此，完成的总工作由

给出

  

n ² （1 + 1/16 + 1/16 ² + 1/16 ³ + ...）

     

≤n ² （1 /（1 - 1/16））

     

=Θ（n ² ）

（这使用sum of an infinite geometric series）的公式。

希望这有帮助！

Answer 2

运行时间为O(n^2)，total递增的次数渐近n^2/(1-1/16)，约为1.067 n^2。 复发将是

T(n) = n^2 + T(n/4)
     = n^2 + n^2/16 + T(n/16)
     = n^2 (1 + 1/16 + 1/16^2 + ...)
     = n^2 / (1 - 1/16)

Answer 3

此代码片段：

i = n, total = 0; 
while (i > 0) {      
 for (j=0; j<i; j++) 
   for (k=0; k<i; k++) 
     total++;      
 i = i/4; 
}

相当于这一个：

for ( i = n ; i > 0 ; i = i / 4 )
    for ( j = 0 ; j < i ; j ++) 
        for ( k = 0 ; k < i ; k ++)
            total ++;

因此，有条理地（根据经验验证），您可以使用Sigma Notation获得以下内容：*

非常感谢WolframAlpha。