for循环的运行时

Question

大O表示法中这个嵌套for循环的运行时是什么？

for(i = 1 to k)
{
    for(j = i+1 to k)
    {}
}

它小于O（k ^ 2）但我无法弄明白。

Answer 1

您的问题与系列和 S（k）= 0 + 1 + 2 + ... +（k-2）+（k-1）密切相关。可以证明 S（k）=（k *（k-1））/ 2 =（k * k）/ 2 - k / 2. [怎么样？将总和重新排序为 S（k）= {0+（k-1）} + {1+（k-2）} + {2+（k-3）} + .... 这显示了如何。]

因此，是小于 O（k * k）的算法顺序？请记住像 1/2 这样的常数系数不会影响大O符号。

问题：所以它相当于用j = i+1 to k替换j = 1 to k？

答案：是的。这很棘手，所以让我们考虑一下。对于i == 1，内循环的动作运行了多少次？答：它运行k-1次。同样，对于i == 2，内循环的动作运行了多少次？答：它运行k-2次。最终，对于i == k，内循环的动作运行了多少次？答：它运行零次。因此，在i的所有值上，内循环的动作运行了多少次？答案：(k-1) + (k-2) + ... + 0，这就是前面提到的总和 S（k）。