for i <- 1 to n
for j <- i to n
for k <- i to j
第二个循环的运行时间的数学表达式是什么？
是n = n ^ 2的j = 1到n的和？
你是如何得出它的，因为它依赖于i和n？
答案 0 :(得分：1)
让我们以两种方式解决问题：
如果您需要计算第二个循环运行时函数，则必须将其表示为n和i的函数。因此，您将修复i，因为它作为常量进入第二个循环，并且您不会在第二个或第三个循环中的任何位置更改其值。如果您想了解为什么第二个循环运行时间取决于i和n，您可以用等效的形式编写算法：
for i <- 1 to n
doSomething(i,n)
doSomething(i,n):
for j <- i to n
for k <- i to j
doStuffHere() //
当j=i时，doStuff()只执行一次，因为j=i和k=j=i，所以循环在1次迭代后停止。
j=i+1，doStuff()执行2次等等
您可以推导出一条规则，即对j的任何值，doStuff()执行(j-i+1)次，即j=i时为1次，{{1}时为2次当{= 1}}时，3次，...，当j = i时，n-i + 1次。这意味着运行时功能是：
j=i+1稍后，当您尝试导出整个算法的复杂度函数时，您将看到对于从1到n的每个i，您有f（n，i）j=i+3，因此整个算法将具有运行时间：
f(n,i) = 1+2+3+...+(n-i+1) = (n-i+1)*(n-i+1+1)/2 =
= (n-i+1)(n-i+2)/2
你必须在这里做一些数学运算并使用公式来表示进展总和。然而，还有另一种方法，更优雅，但也许难以理解。
很明显，对于算法中的每个j和k：
doStuff() RT(n) = f(1,n) + f(2,n) + f(3,n) + .. + f(n,n)
那么，你的代码所做的实际上是从[i，n]中选择两个正整数j和k，其中j <= k。包含那些对j的集合，k实际上是重复的组合，其中我们从具有重复的n-i + 1个元素中选择两个元素。不要感到困惑，因为在某些选择中，第一个数字不会小于第二个数字。您可以随时切换它们，即以非降序重写它们，然后将第一个视为您的j，将第二个视为您的k。这两个数字可以用（n-i + 1）（n-i + 2）/ 2种方式选择，这就是算法的运行时间函数。通过更多的思考和更少错误的数学计算，您可以以更优雅的方式获得解决方案。 如果您尝试确定整个算法的运行时间函数，则适用相同的逻辑。
与数学公式有用的链接