Question

我很难理解tarjan最不常见的祖先算法，有人可以通过一个例子来解释我吗？....我在DFS搜索后被卡住了算法做了什么？

Answer 1

我的解释将基于上面发布的维基百科link :)。

我假设你已经知道在算法中使用的联合不相交结构。（如果没有，请阅读它，你可以在“算法简介”中找到它。）

基本思想是每次算法访问节点x时，其所有后代的祖先都将是该节点x。

为了找到两个节点r的最小共同祖先（LCA）(u,v)，将会有两种情况：

节点u是节点v的子节点（反之亦然），这种情况很明显。
节点u是第i个分支，v是节点r的第j个分支（i＆lt; j），因此在访问节点u之后，算法回溯到节点r，它是两个节点的祖先，将节点u的祖先标记为r并转到访问节点v。目前它访问节点v，因为u已标记为已访问（黑色），因此答案为r。希望你明白！

Answer 2

我将解释如何使用CP-Algorithms中的代码：

void dfs(int v)
{
    visited[v] = true;
    ancestor[v] = v;
    for (int u : adj[v]) {
        if (!visited[u]) {
            dfs(u);
            union_sets(v, u);
            ancestor[find_set(v)] = v;
        }
    }
    for (int other_node : queries[v]) {
        if (visited[other_node])
            cout << "LCA of " << v << " and " << other_node
                 << " is " << ancestor[find_set(other_node)] << ".\n";
    }
}

让我们概述一下算法的证明。

引理1：对于每个顶点v及其父p，我们从p访问v并与p联合v后，p和根v的子树中的所有顶点（即p和所有后代） v中的v，包括v）将在一个由p表示的不相交集中（即ancester [不相交集的根]为p）。

证明：假设树的高度为h。然后从叶节点开始对顶点高度进行归纳。

引理2：对于每个顶点v，在将其标记为已访问之前，以下语句是正确的：

所有v的父级pi将位于一个不相交的集合中，该集合恰好包含pi和pi所访问的子树中的所有顶点。
到目前为止，每个访问过的顶点都在这些不相交的集合中。

证明：我们通过归纳进行。该语句对根（唯一的高度为0的顶点）无意义，因为它没有父级。现在假设该语句对于k≥0的每个高度k的顶点都成立，并且假设v是高度k + 1的顶点。令p为v的父代。在p访问v之前，假设它已经访问了其子c1，c2，...，cn。通过引理1，我们可以归纳证明p和根c1，c2，...，cn的子树中的所有顶点都在一个由p表示的不相交集中。此外，唯一新访问的顶点是此不相交集中的顶点。由于p的高度为k，因此我们可以使用归纳假设得出v确实满足1和2的结论。

我们现在准备证明算法。

声明：对于每个查询（u，v），算法都会输出u和v的最低共同祖先。

证明：在不失一般性的前提下，假设我们在访问DFS中的v之前先访问u。那么v是u的后代，或者v不是u的后代。如果v是u的后裔，那么根据引理1，我们知道u和v在一个由u表示的不相交集中，这意味着ancestor [find_set（v）]是u，这是正确的答案。如果v不是u的后代，那么根据引理2，我们知道u必须位于不相交的集合之一中，其中每个在我们标记v时都由v的父代表示。如果让p为表示顶点u处于不相交集的，同样由引理2知道u在p的访问子树中，因此在p的后代中。在访问完所有v的子代后，这些值没有改变，因此p确实是u和v的共同祖先。要看到p是最小的祖先，假设q是p的子代，其中v是后代（即从v返回根，q是到达p之前的最后一个父级。假设矛盾，你也是q的后代。然后由引理2，u既在p表示的不交集中，又在q表示的不交集中，所以这个不交集包含两个v的父级，这是一个矛盾。

Tarjan最不常见的祖先算法解释

2 个答案: