圆锥的OpenGL / GLUT曲面法线

Question

我用GL_TRIANGLE_FAN

创建了一个圆锥体

// draw the upper part of the cone
glBegin(GL_TRIANGLE_FAN);
glVertex3f(0, 0, height);
for (int angle = 0; angle < 360; angle++) {
    glVertex3f(sin(angle) * radius, cos(angle) * radius, 0);
}
glEnd();

// draw the base of the cone
glBegin(GL_TRIANGLE_FAN);
glVertex3f(0, 0, 0);
for (int angle = 0; angle < 360; angle++) {
    // normal is just pointing down
    glNormal3f(0, -1, 0);
    glVertex3f(sin(angle) * radius, cos(angle) * radius, 0);
}
glEnd();

如何获得表面法线？对于底部我是正确的说正常只是指向下方？

更新

我尝试使用

for (int angle = 0; angle < 360; angle++) {
    glNormal3f(sin(angle), cos(angle), 0);
    glVertex3f(sin(angle) * radius, cos(angle) * radius, 0);
}

但在某些角度看起来很奇怪......

第二张图片看起来只有1种纯色？

Answer 1

假设您的圆锥体具有高度h和半径r并且其直立（比如其尖端指向+ Y方向），则横向面法线取决于两个角度：圆形地面区域的角度和锥形尖端的角度（我们称之为锥角或α）。该锥角又取决于h和r的比率。

观察圆锥体的横截面，我们基本上看到一个直角三角形，其中一个主体的长度为h，另一个为r。让我们假设h cathetus从原点沿Y轴直线上升，r cathetus沿X轴做同样的事。现在我们想要向外计算hypothenuse点的法线。

在三角形上做一些角度数学我们可以看到hyponetuse的法线有以下形式：

(cos(coneAngle), sin(coneAngle))

与

coneAngle = atan(r / h)

这当然只在2D中，我们需要3D等效物。 首先，我们需要XZ平面中的圆的法线。 这可以写成

(cos(circleAngle), 0, sin(circleAngle))

现在我们可以将这两个结合到一个正规方程中。我们的斜率法线有一个水平和一个垂直部分。垂直部分直接进入Y坐标，而水平部分有助于水平方向（X和Z）：

(cos(coneAngle) * cos(circleAngle), sin(coneAngle), cos(coneAngle) * sin(circleAngle))

基本上有两个向量：向上矢量指向锥体的尖端，水平向量是由圆形法线生成的向量。这两个向量形成一个基础，我在这里所做的是应用从XY二维空间（锥法线）到圆形法线和向上矢量（Y轴）跨越的空间的线性变换。要进行此转换，您可以将XY空间矢量的分量与其他空间的相应基矢量相乘，并将结果相加，因此您基本上计算：

cos(coneAngle) * (cos(circleAngle), 0, sin(circleAngle)) + sin(coneAngle) * (0, 1, 0)

更新

我刚注意到，hypothenuse正常图像中的两个三角形是相似的，这意味着，可以计算没有三角函数的法线： 鉴于连字符c = sqrt(h * h + r * r)的长度，我们从三角形的相似性中知道：

n_x / 1 = n_x = h / c

和

n_y / 1 = n_y = r / c

因此，hypothenuse normal是：

1/c * (h, r)

顺便说一下，乘以因子1/c仅仅是向量(h, r)的标准化。