如何高效准确地数值计算非线性多项式？

Question

（我不确定是否应该在本网站或数学网站上发布此问题。如有必要，请随时迁移此帖子。）

我的问题在于，给定值k我想在k中数值计算非线性多项式的有理函数，如下所示:(抱歉，我不喜欢＆＃ 39;知道如何在这里排版方程式......） 其中{a_0, ..., a_N; b_0, ..., b_N}是复数常量，{u_0, ..., u_N, v_0, ..., v_N}是实常数，i是虚数。我从 Numerical Recipes 中学到了很多方法可以快速计算多项式，同时保持舍入误差足够小，如果所有系数都是常数的话。但我不认为这些想法在我的案例中是有用的，因为指数前因也取决于k。

目前我在C中使用complex.h以蛮力的方式计算它（这只是一个伪代码）：

double complex function(double k)
{
    return (a_0+a_1*cexp(I*u_1*k)*k+a_2*cexp(I*u_2*k)*k*k+...)/(b_0+b_1*cexp(I*v_1*k)*k+v_2*cexp(I*v_2*k)*k*k+...);
}

然而，当function的调用次数增加时（因为这只是我实际计算的一部分），它非常慢且不准确（只有6个有效数字）。我感谢任何意见和/或建议。

Answer 1

我相信这不是家庭作业！ 通常的技巧是使用循环将下一个系数添加到运行总和，然后乘以 k 。但是，在您的情况下，我认为系数中的“ e ”项将通过分解k来压倒任何节省。你仍然可以做到，但节省的费用可能很小。

u_i是不变的吗？根据您运行此公式需要多少次，也许您可​​以预乘u_i * k（除非k改变每次运行）。自从我参加数值分析课程以来，已经有这么多年了，我对这个行业的技巧只有模糊的回忆。让我们看看...... e ^（i * u_i * k）与（e ^（i * u_i））^ k相同吗？我不记得关于虚数的规则，或者你是否会保存任何东西，因为你有一个真实的（假设k是真的）无论如何（内部使用e ^ power完成）。

如果你只得到6位数，那表明你的数学，也许是你的库，正在以单精度（32位）实数工作。检查你的库并检查你所使用的声明至少是双精度（64位）实数。