Question

使用切比雪夫多项式，我们可以使用CGAL和CORE库精确计算sin（2 * Pi / n），如下面的代码：

#include <CGAL/CORE_Expr.h>
#include <CGAL/Polynomial.h>
#include <CGAL/number_utils.h>
//return sin(theta) and cos(theta) for theta = 2pi/n
static std::pair<AA, AA> sin_cos(unsigned short n) {
    // We actually use -x instead of x since root_of will give the k-th
    // smallest root but we want the second largest one without counting.
    Polynomial x(CGAL::shift(Polynomial(-1), 1));
    Polynomial twox(2*x);
    Polynomial a(1), b(x);
    for (unsigned short i = 2; i <= n; ++i) {
        Polynomial c = twox*b - a;
        a = b;
        b = c;
     }
     a = b - 1;
     AA cos = -CGAL::root_of(2, a.begin(), a.end());
     AA sin = CGAL::sqrt(AA(1) - cos*cos);
     return std::make_pair(sin, cos);
}

但是如果我想精确地计算sin（2 * m * Pi / n），其中m和n是整数，那么我应该使用多项式的公式是什么？感谢。

Answer 1

（部分解决方案。）

这实质上是将统一根的实部和虚部计算为代数数。设表示w（m）= exp（2 * pi * I * m / n）。然后，w（m）本身是En（x）= x ^ n-1的复根。

您需要找到Re（w（m））的定义多项式。 Resultant是找到这样一个多项式的工具：2 * Re（w（m））是Res的根（En（x-y），En（y）; y）。
为了解释为什么会这样：注意2 * Re（w（m））= w（m）+ conj（w（m）），并且En的复根来自共轭对;因此，conj（w（m））也是En的根。现在松散地说，En（y）部分“约束”y是En的任何（复数）根，并且将它与第一个参数组合允许x取任何复数值，使得x-y也是En的根。因此，可能的分配是y = conj（w（m））和xy = w（m），因此x = w（m）+ conj（w（m））= 2 * Re（w（m））。登记/> CGAL可以计算多元多项式的结果，因此您可以计算此结果，并且您只需选择正确的实根。（最大的一个显然是w（0）= 1，最小的一个是2 * Re（w（floor（n / 2）））。）

不幸的是，结果具有高复杂度（度数n ^ 2），并且结果计算将不是您见过的最快的运算。此外，您将支付密集多项式，尽管您的实例非常稀疏且结构化。因人而异;我对你的用例一无所知，如果你需要更高的学位然而，我在计算机代数系统中做了一些测试，我发现结果分裂成更合理大小的因子，并且它的所有真实根实际上都属于更简单的度数底面多项式（n / 2）+1只要。（没有证据，只是观察。）
我不知道写下这个因素的直接公式，我不想推测它。但也许有些人在mathoverflow或math.stackexchange可以提供帮助吗？

编辑：这是至少一个递归公式的猜测我写s（n，x）得到包含所有实根但得到0的结果多项式的重要因子。这意味着s（n，x）具有m！= n /的所有值2 * Re（w（m）） 4,3 * n / 4作为根。

s（0，x）= 0
s（1，x）= x - 2
s（2，x）= x ^ 2 - 4
s（3，x）= x ^ 2 - x - 2
s（4，x）= x ^ 2 - 4
s（5，x）= x ^ 3 - x ^ 2 - 3 * x + 2
s（6，x）= x ^ 4 - 5 * x ^ 2 + 4
s（7，x）= x ^ 4 - x ^ 3 - 4 * x ^ 2 + 3 * x + 2
s（8，x）= x ^ 4 - 6 * x ^ 2 + 8

s（n，x）=（x ^ 2-2）* s（n-4，x） - s（n-8，x）

等待证明......

如何用CGAL和CORE精确计算sin（2 * m * Pi / n）？

1 个答案: